미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 2편

지난시간에 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 $Ae^x$ 임을 보인 과정을 간단히 가져왔습니다. 

 

$y=f(x)$

$f'(x)=f(x)$

$y'=y$

 

$\frac{dy}{dx}=y$

 

y로 양변 나눔

$\frac{1}{y}dy=dx$

 

적분취함

$\int \frac{1}{y}dy=\int dx$

 

적분 계산

$\ln\left | y \right |=x+C$

 

변형

$\left | y \right |=e^{x+C}$

 

절댓값 풀어줌

$y=\pm e^{x+C}$

 

변형

$y=\pm e^{C}e^{x}$

 

치환

$y=Ae^{x}$

 

위 수식에서 y로 양변을 나눠주는데요. y로 양변을 나누기 위해서는 한가지 조건이 필요한데, y가 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 따라서 위 수식은 y가 0이 아니라는 전제로 유도된 수식입니다. 

 

또 맨 뒤에서 두번째 줄을 보면 $\pm e^{C}$를 A로 치환을 하는데요. $\pm e^{C}$ 는 절대 0이 될 수 없습니다. 0을 제외한 모든 실수가 될 수 있는데, 0은 될 수 없습니다. 따라서 A의 조건은 0이 아닌 모든 실수입니다. 위 수식의 결론만 써보면 아래와 같습니다. 

 

$f'(x)=f(x)$ 에서 $f(x)$ 가 0이 아닌 경우, 미분 방정식의 해는 아래와 같다. 

 

$y=Ae^{x}$ (A는 0이 아닌 실수)

 

자, 그런데 $f(x)$가 0인 경우를 생각해봅시다. f(x)가 0일 때도, $f'(x)=f(x)$ 가 성립합니다. 따라서 y=0도 위 미분방정식의 해입니다. 이런 해를 자명해라고 합니다. 영어로는 trivial solution 입니다. trivial 은 하찮은, 사소한 이런 뜻입니다. 해가 맞기는 한데 너무 당연해서 언급하기조차 하찮은 그런 해입니다. 이와 대조적으로, 0이 아닌 해인 $y=Ae^{x}$ 를 non-trivial solution 이라고 하고, 미분방정식을 푸는 목적은 non-trivial solution 을 구하는 것입니다. 

 

y가 0인 경우는 $y=Ae^{x}$ 에서 A가 0인 경우와 같습니다. 따라서 아래와 같이 하나의 해로 합쳐줄 수 있습니다. 

 

$y=Ae^{x}$ (A는 모든 실수)

 

미분해서 자기자신이 나오는 함수는 위 함수가 되구요. 이 함수는 y=0을 포함하는 함수입니다. 

 

 

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