e를 찾아라 (로그의 미분)

자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 

 

아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. 

 

$y=\log_{a}x$

 

미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$

 

위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$

 

우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h}$

 

우변의 분자를 한번 더 변형합니다.

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(1+\frac{h}{x})}{h}$

 

우변에 x를 곱해주고 나눠줍니다. 1을 곱한것과 같아서 등식에 영향을 주지 않습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{x}\frac{x}{h} \log_{a}(1+\frac{h}{x})$

 

x를 극한기로 밖으로 꺼내줍니다. 극한기호와 무관하므로 꺼낼 수 있습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x}{h} \log_{a}(1+\frac{h}{x})$

 

$\frac{x}{h}$를 로그 진수의 거듭제곱위치로 보냅니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \lim_{h\rightarrow 0} \log_{a}(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}$

 

극한을 로그 기호 안으로 넣어줍니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}  \log_{a}\left \{ \lim_{h\rightarrow 0}(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}} \right \}$

 

만약 저 극한이 어떤 값으로 수렴한다는 것을 증명할 수 있다면 어떤 일이 벌어질까요? 우리는 로그를 굉장히 자연스럽게 사용할 수 있을겁니다. 저 값의 수렴값을 e라고 놓아봅시다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}  \log_{a}e$

 

처음 설정했던 로그의 밑을 e 라고 놓을 경우 아래와 같은 일이 벌어집니다. 

 

$\left ( \log_{e}x \right )'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}  $

 

미분의 결과가 군더더기 없이 자연스러워집니다. 로그의 가장 자연스러운 밑을 발견한 순간입니다. 

 

 

영상