중고등학교에서 배운 기하학 vs 비유클리드기하학

우리는 중고등학교 수학시간에 기하학을 배웁니다. 기하학이라는 과목 이름이 따로 있는 것은 아니지만 우리가 배우는 과정 안에 기하학 내용이 들어 있습니다. 기하학은 점,선,면,부피를 연구하는 학문입니다. 

 

중고등학교에서 배운 기하학은 유클리드기하학을 기반으로 합니다. 유클리드 기하학은 아래와 같은 다섯가지 공준을 따르는 기하학입니다. 공준은 공리와 비슷한 것인데, 공리는 증명이 불가능한 자명한 명제를 말합니다. 유클리드 기하학의 다섯가지 공준은 아래와 같습니다. 

 

1. 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다. 

2. 임의의 선분은 원하는 만큼 연장할 수 있다. 

3. 서로 다른 두 점에서, 한 점을 중심으로 하고 두 점 사이의 거리를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 

4. 모든 직각의 크기가 같다. 

 

다섯번째 공준은 어떤 직선의 외부에 있는 점을 지나면서, 이 직선과 평행한 선은 오직 하나라는 평행선 공준입니다. 다섯번째 공준을 위에 쓰지 않은 이유가 있습니다. 유클리드는 위 네가지 공준을 이용해서 다섯번째 공준을 증명하려고 했습니다. 왜냐하면 위 네가지 공준은 명백했지만 다섯번쨰 공준인 평행선공준은 명백하지 않았기 때문입니다. 평행선공준은 아래와 같습니다. 

 

5. 두 직선이 한 직선과 만나고, 교차하는 각 중 내각의 합이 180도 보다 작다면, 두 직선은 반드시 그 쪽에서 만난다. (=어떤 직선의 외부의 있는 점을 지나면서, 이 직선과 평행한 선은 오직 하나다.)

 

어떤 직선 바깥에 있는 한 점을 지나는 평행선은 오직 하나라는 말입니다. 유클리드는 다섯번째 명제가 뭔가 찝찝했지만 일단 공준에 포함시켰습니다. 

 

후대 사람들은 계속해서 다섯번째 공준을 증명하려고 시도했는데, 오히려 다섯번째 공준을 부정하고도 성립하는 기하학 체계를 발견하게 됩니다. 평행선이 하나도 없거나, 평행선이 무수히 많은 기하학 체계를 발견하게 된 것입니다. 이 두 기하학 체계를 비유클리드기하학 이라고 부릅니다. 

 

평행선이 하나도 없는 기하학 체계를 구면기하학, 평행선이 무수히 많은 기하학 체계를 쌍곡기하학이라고 부릅니다. 기하학은 유클리드기하학과 비유클리드 기하학으로 나뉘고, 비유클리드 기하학은 다시 구면기하학과 쌍곡기하학으로 나뉘는 것입니다.