e^x 는 어디에 쓰일까? (탄소 연대측정법)

탄소는 양성자6개, 중성자 6개로 이루어진 원자라고 배웠습니다. 이를 탄소-12 라고 부릅니다. 그런데 이런 탄소는 98.89% 입니다.

 

나머지 1.11%는 탄소의 동위원소입니다. 동위원소는 양성자의 개수는 같고 중성자의 개수가 다른 원소입니다. 양성자는 6개인데 중성자는 7개인 탄소를 탄소-13이라고 부릅니다. 양성자는 6개인데 중성자는 8개인 탄소는 무엇일까요? 탄소-14 입니다. 

대기중의 탄소-12 와 탄소-14 의 비율은 일정하게 유지된다고 합니다. 생물 내에 있는 탄소-12 와 탄소-14 의 비율도 대기중과 거의 일치합니다. 생물이 죽게 되면, 생물체 내의 탄소-12는 그대로 있고, 탄소-14가 붕괴하기 시작합니다. 

죽은 생물에서 탄소-14가 붕괴하면 죽은 생물 내의 탄소-12와 탄소-14 비율이 달라질 것입니다. 죽은 생물의 탄소-14 붕괴 속도는 탄소-14의 현재 질량에 비례한다고 합니다. 또한 탄소-14의 반감기는 5730년 입니다. 이를 이용하면 죽은 생물의 나이를 예측할 수 있습니다. 

우리가 알고 있는 것을 적어봅시다.

- 탄소-14 의 붕괴 속도는 탄소-14의 현재 질량에 비례함
- 탄소-14의 반감기는 5730년임

이제 미분방정식을 세워봅시다. 어떤 죽은 생물 안에 있는 탄소-14의 현재질량을 $f(t)$ 라고 합시다. 붕괴 속도는 $f'(t)$ 로 놓을 수 있습니다. 붕괴 속도는 현재질량에 비례하므로 아래 등식이 성립합니다. 

$f'(t)=kf(t)$

$f(t)$로 양변을 나눠줍니다.

$\frac{f'(t)}{f(t)}=k$

양변을 t에 대해 적분합니다. 

$\int \frac{f'(t)}{f(t)}dt=\int k dt$

적분을 계산합니다. 

$\ln f(t)=kt+C$

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

$f(t)=e^{kt+C}$

아래와 같이 분리해서 써줍니다. 

$f(t)=e^C e^{kt}$

t가 0일 때의 탄소-14 의 질량을 $y_{0}$라고 놓으면 아래와 같습니다. 

$f(t)=y_{0} e^{kt}$

반감기를 이용하면 k를 구할 수 있습니다. 5730년 후의 질량은 $\frac{1}{2}y_{0}$입니다. 아래 등식을 세울 수 있습니다. 

$y_{0} e^{5730k}=\frac{1}{2}y_{0}$

아래와 같이 약분해줍니다. 

$e^{5730k}=\frac{1}{2}$

양 변에 자연로그를 취합니다. 

$5730k=\ln\left ( \frac{1}{2} \right )$

아래와 같이 k에 대해 정리합니다. 

$k=\frac{1}{5730} \ln\left ( \frac{1}{2} \right )$

계산하면 아래와 같습니다. 

$k=-0.000121$

원래 식에 대입하면 $f(t)$를 구할 수 있습니다. 

$f(t)=y_{0} e^{-0.000121t}$

 

탄소가 지수함수적으로 감소한다는 것을 알 수 있습니다.

실제 상황에 적용해봅시다. 길을 걷다가 동물 뼈를 하나 주웠습니다. 탄소-14가 원래 있어야 할 양에 비해 20% 줄어 있었습니다. 이 동물의 뼈는 죽은 지 몇 년 된 것일까요? 

원래 있어야 할 양을 $y_{0}$ 로 놓는 다면, 현재 질량은 $0.8 y_{0}$ 입니다. 따라서 아래 등식을 세울 수 있습니다. 

$y_{0} e^{-0.000121t}=0.8 y_{0}$

이때 t를 구하면 동물이 죽은지 몇 년 됐는지 알 수 있습니다. $y_{0}$으로 약분합니다. 

$e^{-0.000121t}=0.8$

양 변에 자연로그를 취합니다. 

$-0.000121t=\ln(0.8)$

t를 계산하면 아래와 같습니다. 

t=1844

동물이 죽은 지 약 1844년 됐다는 것을 알 수 있습니다. 

 

 

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