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수학103

e 의 수렴성 증명 (2편) 1+1/2!+1/3!+... 의 수렴성 e의 수렴성을 증명하고 있습니다. 지난시간에는 e의 수렴성 증명에 사용되는 단조수렴정리가 무엇인지 설명했는데요. e의 수렴성을 증명하기 위해서는 한가지 재료가 더 필요합니다. 아래 급수의 수렴성입니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots $ 이 급수의 수렴성은 아래 부등식을 이용하여 보일 수 있습니다. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots 2022. 11. 11.
e 의 수렴성 증명 (1편) 단조 수렴 정리 자연상수 e는 아래와 같은 극한으로 표현되는 값입니다. $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ 우리는 이 극한이 어떤 무리수로 수렴하며, 그 무리수를 e 라고 부르기고 했다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 위 극한이 수렴하는지 한번 쯤 확인해 볼 필요는 있습니다. 수렴성을 증명하기 전에, 수렴성 증명에 사용되는 재료 하나를 먼저 설명하겠습니다. 단조수렴정리 라는 것인데요. 단조수열이 수렴할 조건에 대한 정리입니다. 말이 어려운데요. 최대한 쉬운 말로 설명해보겠습니다. 단조수열은 두 가지가 있습니다. 단조증가수열과, 단조감소수열인데요. 단조증가수열은 $a_{n} \leq a_{n+1}$ 이구요. 이름 그대로 단조증가수열은 증가하는 .. 2022. 11. 7.
이걸 왜 기하평균이라고 부르는걸까 이것은 a와 c의 기하평균입니다. $\sqrt{ac}$ 기하는 도형을 연구하는 학문인데요. 따라서 기하평균은 도형과 관련되어 있습니다. 지금부터 그 예시를 알아보겠습니다. 아래 직사각형을 봅시다. 위 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이가 a와 c의 기하평균입니다. 등식으로 나타내면 아래와 같습니다. $ac=b^2$ b에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $b=\sqrt{ac}$ 기하평균이 어떤 상황에서 사용되는지 알아봅시다. 작년에 연봉이 10배 오르고, 올해 20배 올랐다고 합시다. 연봉은 연 평균 몇배가 오른 것일까요? 산술평균으로 계산하면 15배 인데요. 산술평균으로 계산하면 어떤일이 벌어지는지 알아봅시다. 제작년 연봉을 a라고 한다면 현재 연봉은 아래와 같습니다. $a \times 10.. 2022. 11. 1.
등차수열을 '산술수열', 등비수열을 '기하수열'이라고 부르는 이유 세 수 a,b,c 가 등차수열을 이루고 있다고 합시다. 등차수열을 차이가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $b-a=c-b$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b=\frac{a+c}{2}$ b는 a와 c의 산술평균입니다. 등차수열에서 나란한 세 항 중에서 가운데 항은 양쪽 항의 산술평균입니다. 이러한 이유로 등차수열을 산술수열이라고도 부릅니다. 이번에는 세 수 a,b,c가 등비수열을 이루고 있다고 합시다. 등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b^{2}=ac$ 세 수가 양수라고 가정하고 양변에 루트를 씌웁시다. $b=\sqrt{ac}$ b는 a와 c의 기하평.. 2022. 11. 1.
e^x 는 어디에 쓰일까? (지수함수적 증가는 언제 생기는걸까?) 지난 두편의 영상은 지수함수적 변화가 일어나는 두 가지 상황을 살펴본 것입니다. 지수함수적 변화는 어떤 수량의 변화 속도가, 현재 수량에 비례하는 경우에 발생합니다. 이 말을 수식으로 나타낸 것이 아래 미분방정식인 것입니다. $f'(t)=kf(t)$ 지수함수적 변화가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있도록 우리에게 더 와닿는 예시를 몇가지 더 들어보겠습니다. 1) 만약 돈이 벌리는 속도가 현재 가지고 있는 돈의 양에 비례한다면 돈은 지수함수적으로 많아질 것입니다. 2) 인구가 증가하는 속도가 현재 인구 수에 비례한다면, 인구도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 3) 코로나 환자 증가 속도가 현재 코로나 걸린 사람 수에 비례한다면 코로나 환자 숫자도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 지수함수적 증가가 발생하는 상황.. 2022. 10. 29.
e^x 는 어디에 쓰일까? (뉴튼의 냉각법칙) 따듯한 물체를 차가운 곳에 놓으면 물체의 온도가 점점 낮아집니다. 물체가 열을 잃는 것인데요. 어떤 물체가 열을 잃는 속도는 물체와 주변환경의 온도 차이에 비례합니다. 이러한 사실을 뉴턴의 냉각법칙이라고 부릅니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\frac{dT}{dt}=r\left ( T(t)-T_{env} \right )$ $T(t)$는 물체의 온도, $T_{env}$는 주변 온도, r은 열전달 계수입니다. 주변온도는 특정 값으로 일정하다고 가정합니다. 위 식을 아래와 같이 변형합니다. $T'(t)=r\left (T(t)- T_{env} \right )$ 아래와 같이 변형합니다. $\frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )}=r$ 양변을 t에 대해 적분합니다. .. 2022. 10. 28.
e^x 는 어디에 쓰일까? (탄소 연대측정법) 탄소는 양성자6개, 중성자 6개로 이루어진 원자라고 배웠습니다. 이를 탄소-12 라고 부릅니다. 그런데 이런 탄소는 98.89% 입니다. 나머지 1.11%는 탄소의 동위원소입니다. 동위원소는 양성자의 개수는 같고 중성자의 개수가 다른 원소입니다. 양성자는 6개인데 중성자는 7개인 탄소를 탄소-13이라고 부릅니다. 양성자는 6개인데 중성자는 8개인 탄소는 무엇일까요? 탄소-14 입니다. 대기중의 탄소-12 와 탄소-14 의 비율은 일정하게 유지된다고 합니다. 생물 내에 있는 탄소-12 와 탄소-14 의 비율도 대기중과 거의 일치합니다. 생물이 죽게 되면, 생물체 내의 탄소-12는 그대로 있고, 탄소-14가 붕괴하기 시작합니다. 죽은 생물에서 탄소-14가 붕괴하면 죽은 생물 내의 탄소-12와 탄소-14 비율.. 2022. 10. 25.
e를 찾아라 (지수의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 지수함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 지수함수가 있습니다. $y=a^x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 지수함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합시다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}\left ( a^h-1 \right )}{h}$ 아래와 같이 치환합니.. 2022. 10. 24.
e를 찾아라 (로그의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. $y=\log_{a}x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h.. 2022. 10. 22.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 4편 좀 멋진? 신기한? 증명 방법 미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 $y=e^x$ 밖에 없다는 것을 재밌는 방법으로 증명해보겠습니다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $f(x)$ 라고 한다면 $f(x)=f'(x)$ 가 성립합니다. $f(x)$를 $e^x$로 나눠줍니다. $\frac{f(x)}{e^x}$ 위 식을 x로 미분합니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{f'(x)e^x-e^x f(x)}{\left ( e^x \right )^2}$ 분자를 $e^x$로 묶어줍니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{e^x\left ( f'(x)- f(x) \right )}{\left ( e^x \right )^2}$ f'(x)-f(x.. 2022. 10. 21.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 3편 우리는 지금까지 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 유도했습니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $y'=y$ 라는 미분방정식의 해입니다. $y=y'$ 을 아래와 같이 변형했습니다. $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변을 나누고 dx를 양변에 곱했습니다. 1번 과정이라고 놓겠습니다. $\frac{1}{y}dy=dx$ 양변을 적분합니다. $\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$ 적분을 계산합니다. $\ln \left | y \right |=x+C$ 로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $y=\pm e^x e^c$ 여기서 1번 과정을 보면 dy와 dy를 마치 숫자인 것처럼 각각 분리해서 사용하고 있습니다. 2번과정에서는 dx와 dy가 갑자기 적분상수가 됩니다. 이래도 되는 것.. 2022. 10. 20.
대수학은 왜 알제브라(algebra) 일까 기원 후 820년경에 페르시아의 수학자 '아부 압둘라 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미'가 책을 하나 씁니다. 페르시아 최초의 수학책이었습니다. 책이름은 '알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라' 였는데 방정식의 풀이를 다룬 책이었습니다. 여기서 알자브르는 الجبر 인데 '흩어진 부분들을 묶음' 이라는 뜻입니다. 방정식을 풀 때 항들을 묶는 다는 의미로 사용되었습니다. 고전적인 의미의 대수학이란 수 대신 문자를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 말합니다. 따라서 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라는 대수학의 시초격인 책입니다. 이런 이유로 이 책 제목에 등장하는 단어인 알자브르가 오늘날 대수학을 의미하는 단어인 algebra 된 것입니다. 또한 오늘날 쓰이는 알고리즘이라는 표현도 위 책의 저.. 2022. 10. 13.
무리수는 움직인다? 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. 대표적으로는 $\pi$ , e , $\sqrt{2}$ 가 있습니다. 파이는 3.141592..... 와 같이 소숫점 이후 자릿수가 끝없이 계속됩니다. 이런 이유 때문에 마치 무리수가 어딘가로 다가가는 중인 수라고 생각하시는 경우가 있습니다. 움직이는 상태인 수라고 생각하는 겁니다. 파이는 3.14 로 시작하여 3.14159265358979... 로 어딘가를 향해 다가가는 중이라고 말이죠. 오늘 이 오해를 풀어보겠습니다. 무리수는 어딘가로 다가가는 수가 아니라 멈춰있는 수 입니다. 크기가 얼마로 딱 정해진 수인 것입니다. $\sqrt{2}$를 생각해봅시다. $\sqrt{2}$는 아래와 같이 밑변과 높이가 1인 삼각형의 대각선 길이입니다. 파이도 마찬가지입니다. 파이는.. 2022. 10. 12.
미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 1편 $e^x$를 미분하면 $e^x$ 입니다. 미분해도 자기 자신이 나오는 함수입니다. $e^x$ 뿐 아니라 $2e^x$ 도 미분하면 자기자신이 나오고, $3e^x$ 도 미분하면 자기 자신이 나옵니다. 따라서 $Ae^x$ 는 미분하면 자기자신이 나오는 함수라고 할 수 있습니다. 반대로 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에는 없을까요? 대답은 Yes 입니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에 없습니다. 왜 그런지 알아봅시다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $y=f(x)$라고 놓아봅시다. 미분해서 자기자신이 나온다면 아래 등식이 성립합니다. $f'(x)=f(x)$ y를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. $y'=y$ $y'$을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{.. 2022. 10. 10.
라마누잔이 천재임을 증명하는 일화? 라마누잔은 인도의 전설적인 수학자입니다. 라마누잔은 인도에서 독학으로 수학을 연구하고 있었습니다. 라마누잔은 자신의 연구 내용을 케임브리지 대학교 하디에게 보냈고, 하디는 라마누잔의 천재성을 알아보고 그를 초대합니다. 이때부터 라마누잔은 하디와 함께 수학을 연구합니다. 라마누잔은 병에 걸리게 되고 병원에 입원합니다. 하디는 병문안을 하러 라마누잔을 찾아갔고, 이때 오늘 소개할 일화가 등장합니다. 하디는 자신이 타고온 택시 번호가 1729 라고 말합니다. 지루한 1729 라며 나쁜 징조가 아니었으면 좋겠다고 합니다. 라마누잔은 이렇게 대답합니다. "1729는 두 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 두가지입니다. 상당히 재미있는 수에요. 하나는 $9^3+10^3$이고, 다른 하나는 $1^3+12^.. 2022. 9. 29.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (29) 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다. $\left ( a^p \right )^q=a^{pq}$ (1) 위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p와 q가 아래와 같은 유리수라고 .. 2022. 8. 1.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (27) 지수법칙 유리수버전 ① 곱셈 지수법칙 유리수버전 ① 곱셈 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. $a^p a^q=a^{p+q}$ (1) 위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 곱셈법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다. p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. $p=\frac{d}{c}$ .. 2022. 7. 26.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (20) 지수법칙 정수버전 ① 곱셈 지수법칙 정수버전 ① 곱셈 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. $1=a^0$ $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. $a^m a^n=a^{m+n}$ 1) n이 0인 경우 위 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. $a^m a^0=a^{m}$ $a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. $a^m =a^{m}$ 등식이 성립하므로 n이 0일 때 곱셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 2) n이 음수인 경우 n.. 2022. 7. 13.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (11) n제곱근의 개수 n제곱근의 개수 제목을 더 길고 정확하게 표현하면 '실수 a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수'입니다. 실수 a의 n제곱은을 x라고 놓으면 아래 수식과 같이 나타낼 수 있습니다. $x^n=a$ 위 식의 실근의 개수를 구하면 됩니다. 함수의 관점으로 바꾸면 아래와 같습니다. $y=x^n$ $y=a$ 위 두 함수의 접점의 개수를 구하면 됩니다. n이 짝수인지 홀수인지에 따라 나뉩니다. 1) n이 짝수인 경우 n이 짝수인 경우 $y=x^n$ 의 그래프 형태는 아래와 같습니다. $y=a$ 는 수평인 직선입니다. a가 0보다 크면 접점 2개를 갖습니다. a가 0이면 접점 하나, 0보다 작으면 접점이 없습니다. 정리하면 아래와 같습니다. n이 짝수이고 a>0 이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 2개이다. n이 짝수이.. 2022. 6. 28.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (6) 지수법칙 자연수버전 ⑤ 거듭제곱3 지수법칙 자연수버전 ⑤ 거듭제곱3 아래와 같이 거듭제곱에 다시 거듭제곱이 있는 경우 지수 계산 방법을 알아봅시다. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{3}$ $\frac{a}{b}$가 세번 곱해진 것과 같습니다. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{3}=\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b}$ 우변을 계산하면 아래와 같습니다. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{3}=\frac{a^{3}}{b^{3}}$ 일반화시키면 아래와 같습니다. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$ 2022. 6. 14.
[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (2) 지수법칙 자연수버전 ① 곱셈 지수법칙 자연수버전 ① 거듭제곱의 곱셈 어떤 실수 a의 n제곱은 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다. $a \times a \times \cdots \times a =a^{n}$ 위 식에서 n을 지수라고 부릅니다. 거듭제곱끼리 연산을 할 때, 지수들이 계산되는 원리가 있습니다. 이를 지수법칙이라고 합니다. 지금 단계에서는 지수가 자연수인 경우만 다룰 것입니다. 아래와 같이 거듭제곱 끼리 곱하는 경우의 지수 계산 방법을 알아봅시다. $a^{m}a^n$ $a^{m}$ 은 a가 m번 곱해진 것이고, $a^n$ 은 a가 n번 곱해진 것이므로 $a^{m}a^n$ 은 a가 m+n 번 곱해진 것임을 쉽게 알 수 있습니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. $a^{m}a^n=a^{m+n}$ 간단한 예를 들면 아래.. 2022. 6. 4.
막대로 우주공간을 채우는 방법 길이가 무한한 막대가 있다고 합시다. 막대의 단면은 $1m^{2}$ 입니다. 이 막대를 정육면체 모양으로 잘게 잘라줍니다. 막대에서 정육면체 하나를 가져옵니다. 정육면체 $3^{3}-1$ 개를 더 가져와서 처음 가져온 정육면체를 둘러싸줍니다. 아래와 같이 각 변이 3m인 정육면체가 됩니다. 같은 방법으로 $5^{3}-3^{3}$개를 더 가져와서 둘러싸줍니다. 이 과정을 반복하면 모든 공간을 채울 수 있습니다. 위 문제를 알베르트 역설이라고 부릅니다. 2022. 5. 21.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (11) '적어도'라는 말이 들어간 순열 '적어도'라는 말이 들어간 순열 '적어도'라는 말이 들어간 하는 순열을 구하는 방법을 알아봅시다. 간단한 예시를 통해 알아봅시다. a,b,c,d,e 를 일렬로 나열할 때 적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우를 구하시오. a,b,c,d,e 에서 모음은 a,e 입니다. 적어도 라는 말이 들어간 문제는 대부분 '여집합'을 이용하여 풀면 쉽게 풀립니다. '적어도 한쪽 끝에 모음이 온다'의 여집합은 '양쪽 모두 자음이 온다' 입니다. a,b,c,d,e 를 일렬로 나열할 때 양쪽 모두 자음이 오는 경우를 구해봅시다. 자음은 b,c,d 입니다. 이들 중 둘을 뽑아줍니다. $_{3}C_{2}$입니다. 양쪽에 배치할 것인데 자리를 바꿀 수 있으므로 2를 곱해줍니다. 양쪽이 정해졌으니 나머지 세자리를 배열합니다. 3!을 곱.. 2022. 5. 18.
[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (10) 이웃하지 않게 나열하는 순열 이웃하지 않게 나열하는 순열 이웃하지 않게 나열하는 순열은 '특정 대상이 이웃하지 않아야 한다'는 조건이 붙은 순열입니다. 예를 들어봅시다. a,b,c,d,e 를 일렬로 나열할 때 a와 c가 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수를 구하시오. 이웃하지 않게 나열하는 순열 문제를 쉽게 푸는 방법이 있습니다. 이웃하지 말라는 조건이 붙은 a와 c 를 빼고 나머지를 먼저 나열합니다. b,d,e 를 나열하는 것이니 3! 입니다. 나열된 경우 중 한 가지 경우를 생각해 봅시다. d e b d e b 사이에는 네 자리가 있습니다. O d O e O b O 네 자리 중 두 자리를 뽑아서 a와 c를 배열하면 됩니다. 이렇게 하면 a와 c는 이웃하지 않습니다. 네 자리 중 두 자리를 뽑아서 a와 c를 배열하는 경우의 수는 .. 2022. 5. 17.
[5분 고등수학] 역함수의 미분법 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 놓겠습니다. 이때 아래 두 등식이 성립합니다. $f^{-1}(x)=g(x)$ $f\circ g(x)=f(g(x))=x$ 아래 식의 양변을 미분합시다. $f(g(x))=x$ 미분 결과는 아래와 같습니다. $f'(g(x))g'(x)=1$ 아래와 같이 변형합시다. $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ 역함수의 미분공식이 유도되었습니다. 예시 문제를 하나 풀면서 어떻게 사용되는지 알아봅시다. $f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계이다. $f'(1)=5,f(1)=3$일 때, $g'(3)$을 구하여라. 우리가 유도한 공식의 x자리에 3을 대입합시다. $g'(3)=\frac{1}{f'(g(3))}$ f(1)=3이므로, 역함수 관계에 의해 g(3)=1 입니다. 따.. 2021. 12. 20.
[5분 고등수학] 미적분의 기본정리 우리는 지난 글에서 정적분과 미분의 관계를 배운 상태입니다. 정적분과 미분의 관계는 아래와 같습니다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 . $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$ 위 등식을 이용하여 미적분의 기본정리를 증명합니다. 위 등식이 미적분의 기본정리 1 이고, 오늘 유도할 등식은 미적분의 기본정리 2입니다. 고등학교 과정에서는 오늘 유도하는 등식만 미적분의 기본정리라고 부릅니다. 고교과정 대학 정적분과 미분의 관계 미적분의 기본정리 1 미적분의 기본정리 : 미적분의 기본정리 2 우리는 고등학생이므로 오늘 배울 수식을 미적분의 기본정리라고 부르겠습니다. 미적분의 기본정리는 아래와 같습니다. 함.. 2021. 11. 17.
[5분 고등수학] 도함수의 정의 도함수가 무엇인지 알아봅시다. 함수 f(x)가 있을 때, x=a에서의 미분계수의 정의는 아래와 같습니다. $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a에서의 순간변화율이라고도 부르고, a에서의 미분계수라고도 부릅니다. 여기서 a자리에 변수 x를 넣으면 함수가 됩니다. 이 함수를 도함수라고 부릅니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 조건이 필요하겠죠? f(x)가 미분가능한 함수여야 합니다. 도함수가 무엇인지 정리해봅시다. y=f(x)가 미분가능할 때, f(x) 도함수는 아래와 같이 정의됩니다. $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 도함수는 $f'(.. 2021. 11. 8.
[5분 고등수학] 로그의 성질 증명 (1) 로그의 정의는 아래와 같습니다. $ax=N \ \Leftrightarrow \ x=\log_{a}N$ a의 조건은 아래와 같습니다. "a는 1이 아닌 양수" N의 조건은 아래와 같습니다. "N은 양수" 오늘 배워볼 로그의 5가지 성질은 아래와 같습니다. 1) $\log_{a}1=0$ 2) $\log_{a}a=1$ 3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ 4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ 5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$ 하나씩 증명해보겠습니다. 1) $\log_{a}1=0$ 증명 a의 0제곱근은 1입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $a^{0}=1$ 로그 정의를 적용하면 아래와 같습니다. $0=\log_{a}1.. 2021. 10. 14.
[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (3제곱) 자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 3제곱의 합공식 1제곱 부터 n제곱 까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+ \cdots + n^{3}$ 위 공식을 유도해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. $(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1$ 등식이 성립한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않으므로 넘어가겠습니다. k에 1부터 n까지 대입하면 아래와 같습니다. $2^{4}-1^{4}=4\cdot 1^{3}+6\cdot 1^{2}+4 \cdot 1 +1$ $3^{4}-2.. 2021. 9. 30.
[5분 고등수학] 단리법, 복리법 은행에 예금을 하면 이자가 붙습니다. 이자를 붙이는 방법은 크게 둘로 나뉩니다. 단리법과 복리법입니다. 하나씩 배워봅시다. 1. 단리법 은행에 a원을 저금했습니다. a를 원금이라고 합니다. 연 이자율은 r% 였습니다. 이자가 단리로 붙는다는 것은 원금에만 이자가 붙는다는 것을 의미합니다. 1년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 원금과 이자의 합계를 '원리합계'라고 합니다. 1년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 1년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}=a\left ( 1+\frac{r}{100} \right )$ 2년 후 원금과 이자는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계는 아래와 같습니다. 2년 후 원리합계 = $a+a\times \frac{r}{100}+a\times \frac.. 2021. 9. 25.
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