e 의 수렴성 증명 (3편) 증명

우리는 자연상수 e의 수렴성을 증명하기 위한 재료 두가지를 배웠습니다. 첫번째 재료는 단조수렴정리입니다. 단조수렴정리 중 증가수열의 수렴조건을 이용할 겁니다. 어떤 수열이 증가수열 일 때, 절대 넘을 수 없는 값이 있다면 이 수열은 수렴합니다. 두번째 재료는 아래 부등식입니다. 

 

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} <2$

 

위 부등식을 아래와 같이 변형하겠습니다. 

 

$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!} <1$

 

두 재료를 이용하여 e의 수렴성을 증명하겠습니다. 자연상수 e는 아래 수열의 극한값입니다. 

 

$a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$

 

이 수열이 단조증가수열이며, 절대 넘을 수 없는 값을 갖는다는 것을 보이면 e의 수렴성을 증명할 수 있습니다. 

 

위 수열을 이항정리를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=  \sum_{k=0}^{n} \ _{n}C_{k}\left ( \frac{1}{n} \right )^k$

 

조합을 팩토리얼 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=  \sum_{k=0}^{n} \ \frac{n!}{k!(n-k)!} \left ( \frac{1}{n} \right )^k$

 

k에 0을 넣으면 1이고, 1을 넣어도 1이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{n!}{k!(n-k)!} \left ( \frac{1}{n} \right )^k$

 

팩토리얼 부분을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}$

 

$a_{n+1}$을 구하면 아래와 같습니다. n에 n+1 을 대입하면 됩니다. 

 

$a_{n+1}=2+ \sum_{k=2}^{n+1} \ \frac{1}{k!} \frac{(n+1)n\cdots (n-k+2)}{(n+1)^k}$

 

$a_{n+1}$ 과 $a_{n}$ 을 비교해봅시다. $a_{n+1}$의 시그마 안 분자가 더 크고, 항이 하나 많습니니다. 모든 항은 양수이므로 $a_{n+1}$ 이 $a_{n}$ 보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 

 

$a_{n+1} > a_{n}$

 

따라서 $a_{n}$  은 증가수열입니다. 이제 $a_{n}$ 절대 넘을 수 없는 값이 있다는 것만 증명하면 됩니다. 

 

아래와 수식으로 다시 돌아가봅시다. 

 

$a_{n}=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}$

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

$a_{n}=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{1}{k!} \left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )$

 

우변의 $\frac{1}{k!}$ 뒤에 곱해진 값들은 1보다 작습니다. 따라서 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$a_{n}=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{1}{k!} \left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )<2+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}$

 

두번째 재료를 적용하면 아래 부등식을 얻습니다. 

 

$a_{n}=2+ \sum_{k=2}^{n} \ \frac{1}{k!} \left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )<2+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}<3$

 

따라서 a_{n} 은 수렴합니다.