e 의 수렴성 증명 (2편) 1+1/2!+1/3!+... 의 수렴성

e의 수렴성을 증명하고 있습니다. 지난시간에는 e의 수렴성 증명에 사용되는 단조수렴정리가 무엇인지 설명했는데요. e의 수렴성을 증명하기 위해서는 한가지 재료가 더 필요합니다. 아래 급수의 수렴성입니다. 

 

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots $

 

이 급수의 수렴성은 아래 부등식을 이용하여 보일 수 있습니다. 

 

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots <1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots$

 

부등식의 우변은 2로 수렴하므로 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots <2$

 

단조수렴정리를 적용해봅시다. 급수도 수열이므로 아래와 같이 놓을 수 있습니다. 

 

$s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}$

 

이 수열은 증가하는 수열이고, 절대 넘을 수 없는 값 2가 있으므로 단조수렴정리에 의해 수렴합니다. 

 

 

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