[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (11) n제곱근의 개수

n제곱근의 개수

제목을 더 길고 정확하게 표현하면 '실수 a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수'입니다. 실수 a의 n제곱은을 x라고 놓으면 아래 수식과 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$x^n=a$

 

위 식의 실근의 개수를 구하면 됩니다. 함수의 관점으로 바꾸면 아래와 같습니다. 

 

$y=x^n$

 

$y=a$

 

위 두 함수의 접점의 개수를 구하면 됩니다. n이 짝수인지 홀수인지에 따라 나뉩니다. 

 

1) n이 짝수인 경우

n이 짝수인 경우 $y=x^n$ 의 그래프 형태는 아래와 같습니다. 

 

$y=a$ 는 수평인 직선입니다. a가 0보다 크면 접점 2개를 갖습니다. a가 0이면 접점 하나, 0보다 작으면 접점이 없습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 

 

n이 짝수이고 a>0 이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 2개이다.

n이 짝수이고 a=0 이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 1개이다.

n이 짝수이고 a>0 이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 0개이다.

 

 

2) n이 홀수인 경우

n이 짝수인 경우 $y=x^n$ 의 그래프 형태는 아래와 같습니다. 

 

 

$y=a$ 는 수평인 직선입니다. a가 얼마인가에 상관없이 1개의 접점을 같습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 

 

n이 홀수이면 a의 n제곱근 중 실수인 것은 1개이다.