e 의 수렴성 증명 (1편) 단조 수렴 정리

자연상수 e는 아래와 같은 극한으로 표현되는 값입니다.

 

$\lim_{n \rightarrow  \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$

 

우리는 이 극한이 어떤 무리수로 수렴하며, 그 무리수를 e 라고 부르기고 했다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 위 극한이 수렴하는지 한번 쯤 확인해 볼 필요는 있습니다.

 

수렴성을 증명하기 전에, 수렴성 증명에 사용되는 재료 하나를 먼저 설명하겠습니다. 단조수렴정리 라는 것인데요. 단조수열이 수렴할 조건에 대한 정리입니다. 말이 어려운데요. 최대한 쉬운 말로 설명해보겠습니다. 

 

단조수열은 두 가지가 있습니다. 단조증가수열과, 단조감소수열인데요. 단조증가수열은 $a_{n} \leq a_{n+1}$ 이구요. 이름 그대로 단조증가수열은 증가하는 수열입니다. 단조 감소수열은 $a_{n} \geq a_{n+1}$ 입니다. 단조감소수열은 감소하는 수열입니다. 

 

단조수렴정리는 단조수열이 수렴할 조건이라고 앞에서 이야기했었는데요. 단조증가수열이 수렴할 조건을 알아봅시다.  단조증가수열은 절대 넘을 수 없는 어떤 값이 있을 때 수렴합니다. 예를 들면 단조증가수열 $a_{n}$ 이 있을 때 $a_{n} \leq 3$ 이런 조건이 성립하는 겁니다. 이때 $a_{n}$ 은 수렴합니다. 수렴하는 값이 얼마인지 알려면 다른 조건이 더 필요하겠지만, 위 조건만으로 $a_{n}$이 반드시 수렴한다는 것은 알 수 있습니다. 

 

왜 그럴까요? 이렇게 생각해봅시다. $a_{n}$이 발산한다고 생각해보는겁니다. 일단 $a_{n}$은 가만히 있거나, 증가해야 하니까 진동은 불가능하죠. 만약 $a_{n}$이 발산한다면 진동이 아닌 (+) 무한대로의 발산만 가능할겁니다. 그런데 3을 넘을 수 없죠. 따라서 진동이 아닌 발산도 불가능합니다. 그렇다고 진동도 불가능합니다. 그럼 뭐만 남죠? 네 수렴만 남습니다. 

 

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