반응형 수학103 로마숫자 1~100까지 써보기 (자릿수가 없다는 것) 로마숫자는 아래 7개의 숫자를 조합하여 만들어집니다. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 로마숫자의 네가지 특징을 알아봅시다. 1) 로마숫자의 특징은 자릿수가 없습니다. 예를들어 321을 나타내려면 100을 세번 쓰고 10을 두번 1을 한번 써서 나타냅니다. 2) 감산표기법이 적용됩니다. 로마숫자에서는 큰 기본 수 앞에 작은 기본수가 놓이면 큰 수에서 작은 수를 뺀 값이 됩니다. 이를 감산표기법이라고 합니다. 예를들어 IV 는 5-1 인 4이고, XL은 50-10인 40이 됩니다. 3) 문자 위에 줄을 그으면 1000배가 됩니다. 4) 0이 없음. 로마숫자를 100까지 써보면서 자리수가 없다는게 얼마나 불편한지 느껴보고, 또 감산표기법이 어떻게 적용.. 2021. 2. 15. 파이(π)를 피아노로 연주해보기 파이로 음악을 만들어보았습니다. C Major 스케일을 사용했구요. 먼저 아래와 같이 숫자에 음을 붙였습니다. 0 - 도 1 - 레 2 - 미 3 - 파 4 - 솔 5 - 라 6 - 시 7,8,9 가 남는데요. C메이저 스케일의 다이아토닉 코드에서 마이너 코드은 Em 와 Am의 도미넌트 코드 B7과 E7에 나오는 음인 레#, 파#, 솔# 을 사용했습니다. 7 - 레# 8 - 파# 9 - 솔# 7~9는 한옥타브 위에서 연주하였습니다. 예를들어 3.1415926535897932384 2021. 2. 11. BC와 AD는 알겠는데 BCE 와 CE 는 뭘까 BC와 AD는 다들 잘 알고 있을 겁니다. 예수그리스도의 탄생을 기준으로, 탄생 이전을 BC로 탄생이후를 AD로 정하였습니다. 그런데 계산을 잘못해서 실제 예수 탄생일은 BC4이라고 하는데, 정확한 예수 탄생일에 대해서는 여러 주장이 있는 것 같습니다. BC는 Before christ 의 약어입니다. christ 는 '그리스도'라도고 발음하는데요 구원자라는 뜻입니다. 여기서 말하는 구원자는 예수구요. 그래서 BC는 예수 이전이라는 뜻입니다. AD는 Anno donimi 약여인데, 여기서 Anno 는 '해,년' 이라는 뜻의 라틴어이고, domini 는 '주님의'라는 뜻입니다. 번역하면 '주님의 해' 입니다. 기독교에서는 예수가 세상을 다스린다고 믿기 때문에, 예수가 이땅에 온 이후를 '주님의 해'라고 부른.. 2021. 2. 11. 오일러 공식 유도 (테일러급수 이용) 오일러가 발견한 오일러공식을 유도해봅시다. 파인만은 이 공식을 보석이다, 수학분야에서 가장 놀라운 공식이다 라고 표현했습니다. 그도 그럴것이, 이 공식은 수학,물리학,공학의 다양한 분야에서 사용됩니다. 제 경우는 학부시절 동역학(Dynamics) 수업에서 이 공식을 처음 접했습니다. 이름에서 알 수 있듯, 레온하르트 오일러가 유도했습니다. 오일러는 스위스 수학자이며, 베르누이의 제자입니다. 테일러급수를 이용한 유도 테일러 급수의 일반형은 아래와 같습니다. 테일러 급수까지 유도하지는 않겠습니다. $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots $ 테일러급수에서 a에 0을 넣은 형태.. 2021. 1. 30. 소수(prime number)의 개수는 무한할까? 여기서 말하는 소수는 0.1, 0.12 등의 소수가 아니라 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수입니다. 2,3,5,7 등이 있습니다. 예를 들어 6은 1뿐만 아니라 2와 3을 약수로 갖기 때문에 소수가 아닙니다. 1보다 큰 수 중에서 소수가 아닌 수는 '합성수'라고 부릅니다. 1은 소수도 아니고 합성수도 아닙니다. 소수들을 합성해서 만들었다 뭐 그런 뜻인 것 같습니다. 합성수를 소수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 소수는 마치 자연수의 '기본입자'같은 역할입니다. 소수는 더 이상 쪼개지지 않습니다. 모든 합성수는 소인수분해가 가능할까요? 먼저 이 문장을 증명합시다. 소인수분해가 불가능한 작은 합성수를 n이라고 합시다. 소수가 아니므로 1과 자기자신 이외의 약수를 갖습니다. 이.. 2021. 1. 23. 두 유리수 사이에는 무리수가 항상 있을까? 서로 다른 두 유리수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 것은 a+b/2 가 유리수이므로 쉽게 보일 수 있습니다. 문득 궁금해졌습니다. 서로 다른 두 유리수 사이에 항상 무리수가 존재할까요? 서로 다른 두 유리수를 a,b라고 합시다. b가 a보다 크다고 놓겠습니다. a 2021. 1. 22. 0.999...=1 의 나름 엄밀한 증명 (2편) 0.999...=1 을 증명하고 있습니다. 이번 글은 2편입니다. 1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성 2) 유리수의 조밀함 3) 유리수의 빈틈 4) 실수의 완비성 5) 엡실론 델타법 조밀함은 영어 dense를 번역한 것입니다. 수학에서 조밀하다는 것은 우리가 흔히 사용하는 조밀하다와 다릅니다. 여기 고양이 사진이 있습니다. 누군가 "고양이 털은 조밀해?" 라고 물어본다면 아마 그렇다고 대답할 것입니다. 일상적으로는 틀린 말이 아닙니다. 이정도면 조밀한거죠. 하지만 수학에서의 조밀함을 적용하면 이야기가 달라집니다. 고양이 털이 수학적으로 조밀하려면, 임의의 두 털 A와 B를 잡았을 때 두 털 사이에 또 다른 털이 C가 있어야 합니다. 그 또다른 털 C와 A 사이에도 또다른 털이 있어야 하고 이런 상태.. 2021. 1. 15. [모듈식 수학 2] 3.적분 (6) 함수의 차의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(6) 함수의 차의 부정적분] 함수의 차의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)-G(x)}를 미분하면 f(x)-g(x) 이므로 {F(x)-G(x)}은 f(x)-g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 29. [모듈식 수학 2] 3.적분 (5) 함수의 합의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(5) 함수의 합의 부정적분] 함수의 합의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)+G(x)}를 미분하면 f(x)+g(x) 이므로 {F(x)+G(x)}은 f(x)+g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 25. [모듈식 수학 2] 3.적분 (4) 함수의 실수배의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(4) 함수의 실수배의 부정적분] 함수의 실수배의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 양변을 미분하면 아래 등식도 성립합니다. 양변에 k를 곱합시다. kF'(x)는 {kF(x)}' 와 같습니다. 곱의 미분법을 적용하면 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. kF(x)를 미분한 결과가 kf(x) 이므로, kF(x)는 kf(x)의 한 부정적분이고 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 위에서 사용한 C와 구분하기 위해 C2로 써주었습니다. k로 우변을 묶어봅시다. 대괄호 안의 C2/k 는 적분상수로 해석할 수 있습니다. C2가 모든 값이 될 수 있는 적분상수 이므로, 이 값을 k로 나눠도 의미는 달라지지.. 2020. 6. 24. 중등교사 수학 임용고시 과목 및 기출문제 한국교육과정평가원 중등교사임용시험 링크http://www.kice.re.kr/sub/info.do?m=010602&s=kice#tablink 한국교육과정평가원 중등교사임용시험 기출문제 링크http://www.kice.re.kr/boardCnts/list.do?boardID=1500212&s=kice&m=030306 수학 임용시험은 2차까지 있습니다.1차에 교육학과 전공시험을 봅니다. 2차시험은 면접, 교수 및 학습지도안작성, 수업실연입니다. 1차시험 1교시 : 교육학 서양교육사 교육행정교육심리생활지도와 상담교육과정교육평가교육공학교육사회학한국교육사교육통계교육연구 1차시험 2,3교시 : 전공 해석학(미적분포함)복소해석학현대대수학선형대수학미분기하학정수론확률과통계이산수학위상수학미분적분학 2019. 7. 10. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 *(18) 흡수, 드모르간, 부정법칙 흡수, 드모르간, 부정법칙 집합의 합집합, 교집합, 여집합 등을 집합의 '연산'이라고 부릅니다. 우리는 이미 연산을 배운 상태인 거것이죠. 집합의 연산에서 성립하는 6개의 법칙은 아래와 같습니다. 1) 교환법칙2) 결합법칙3) 분배법칙4) 흡수법칙5) 드모르간 법칙6) 부정법칙 오늘은 이들 중 뒤의 3가지를 배워봅시다. 먼저 흡수법칙입니다. 흡수법칙은 합집합연산을 하거나 교집합 연산을 할 때 양쪽에 있는 두 변 중 하나만 남겨지기 때문에 붙은 이름입니다. 한쪽이 다른 쪽에 흡수된다는 의미죠. 한번 살펴봅시다 . 첫번째 식을 먼저 봅시다. A와 B의 교집합은 A에 포함됩니다. 따라서 둘을 합하면 A가 됩니다. 당연하죠? 이번에는 두번째 식을 봅시다. A와 B의 합집합은 A를 포함합니다. 따라서 A와 B의 .. 2019. 1. 8. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (11) 합집합의 성질 합집합의 성질 합집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면, A ∪ B = B 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 둘을 합하면 B가 됩니다. 2) A ∪ B = B 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 합집합을 구했더니 B가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∪ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 어떤 집합에도 포함됩니다. 4) Φ ∪ Φ = Φ 이다. 당연하겠죠^^ 5) A ⊂ (A ∪ B) , B ⊂ (A ∪ B)이다. A.. 2018. 11. 27. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
