[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (23) 원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때)

원의 접선의 방정식 (원 위의 점을 알 때)

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원 위의 한 점을 알 때, 그 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 가장 간단한 형태의 원 부터 시작해 볼게요.

1. 위의 점 에서의 접선의 방정식

위 그림을 봅시다. 빨간색으로 표시된 접선의 기울기만 알면 접선의 방정식을 구할 수 있습니다. 기울기는 생각보다 쉽게 구해할 수 있습니다. 

직선 OP를 봅시다. 직선 OP의 기울기는 아래와 같습니다.

그런데 직선 OP와 접선은 서로 수직관계입니다. 따라서 접선의 기울기는 아래와 같습니다. 

접선의 기울기와 한점을 이용하여 접선의 방정식을 세우면 아래와 같습니다.

위 식을 이용해서 접선의 방정색을 구해도 되지만 더 멋진 방법이 있어서 한번 더 변형해보도록 하겠습니다. 위 식의 양변에 을 곱해봅시다.

아래와 같이 이항합시다. 

.................(1)

은 원 위의 점이므로 아래 등식이 성립합니다. 

(1)번 식에 대입하면 아래 등식을 얻습니다. 

이 등식을 외우셔야 문제 풀기 편할 겁니다. 그런데 반드시 기억해야할 것은 수식을 외우는 것 보다, 수식이 도출된 '과정'을 이해하고 있어야 한다는 것입니다. 암기력만으로는 수학 정복 못합니다. 사고력을 길러야 하는데, 사고력은 이해하고 고민하는 과정에서 길러집니다. 

2.  위의 점 에서의 접선의 방정식

1) 방법1

먼저 위에서 사용한 원리를 이용해서 구해봅시다. 원의 중심과 원 위의 점을 연결한 기울기는 아래와 같습니다.

이 직선과 원의 접선은 서로 수직관계이므로 원의 접선의 기울기는 아래와 같습니다. 

기울기와 한 점을 알기 때문에 아래와 같은 접선의 방정식을 만들 수 있습니다.

2) 방법2

이번에는 다른 방법으로 접선의 방정식을 구해봅시다. 좋은 아이디어니까 잘 이해해 보시기 바랍니다.

원의 방정식을 원점으로 평행이동해봅시다. x축으로 -a만큼, y축으로 -b만큼 이동하면 원점을 중심으로한 원의 방정식이 됩니다. 

원위의 점도 이동해야 겠죠? 아래와 같은 점으로 이동합니다.

1번 내용에서 구한 공식을 이용해서 접선의 방정식을 구합니다.

이제 이 접선의 방정식을 다시 평행이동해서 제자리로 돌려놓습니다. x축으로 a민큼, y축으로 b 만큼 이동하면 됩니다. 공식이 유도되었습니다. 

3. 원 위의 점 에서의 접선의 방정식

공식이 있긴 한데 넘어가겠습니다. 완전제곱식을 만들어서 2번 방법으로 풉시다.

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