[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (35) 삼,사차방정식의 정의와 풀이

삼,사차 방정식의 정의와 풀이

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삼차방정식은 차수가 3차인 방정식이구요. 4차방정식은 차수가 4차인 방정식입니다. x에 대한 방정식만 다루고 있으니까. 차수는 x의 차수를 의미합니다. 삼,사차방정식의 경우는 인수분해가 되지 않으면 해를 구할 수가 없습니다. 삼차방정식 근의 공식이 있긴 한데 고등학교 범위를 벗어나요. 따라서 인수분해가 되는 식들만 나오겠죠? 삼차식 인수분해 방법은 이미 배웠습니다. 조립제법을 이용하거나, 직관적 계수비교법을 통해 인수분해하시면 됩니다.

1) 삼차방정식의 풀이

간단한 예를 들어봅시다.

먼저 6의 약수인 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6을 대입해서 인수를 찾습니다. 1을 넣으면 0이죠? 따라서 (x-1)을 인수로 갖습니다. 인수분해를 합시다.

근은 1,-3,2 입니다. 

사차식도 인수분해가 되면 인수분해를 해주면 되는데요. 몇가지 예외적인 유형을 공부해봅시다. 

2) 복이차방정식

사차방정식 중 3차항과 1차항이 없는 방정식을 말합니다. 아래와 같은 방정식이죠. 

이런 모양의 방정식이 보이면 을 t로 치환합니다. 

이제 인수분해를 합시다.

t=6,1 입니다. 따라서  =6,1 이구요. x값을 구하면 아래와 같습니다.

3) 공통 부분이 있는 경우

꼭 복이차식이 아니어도, 공통부분이 보이면 치환해주면 됩니다. 

둘씩 곱하면 공통부분이 생깁니다. 바깥쪽 두 식을 곱하고 안쪽 두 식을 곱하면 됩니다. 

치환할 부분이 보이시죠? t로 치환합시다. 

t=4,-6이니까. 아래 두 식을 얻습니다. 

각각 계산해서 해를 구해주시면 됩니다. 

4) 상반방정식

상반방정식은 유형으로 알고 있어야 합니다. 을 중심으로 계수들이 대칭을 이루고 있는 방정식을 상반방정식이라고 합니다. 예를 들어봅시다.

상반방정식의 풀이는 정해져 있습니다. 방법을 모르면 못풀어요. 상반방정식을 풀 때 먼저 모든 항을 으로 나눠줍니다. x가 0이 아닐 때만 나눠줄 수 있는데, 상반방정식에서 x는 0이 절대 아닙니다. 넣어보시면 알아요. 

아래 처럼 묶어줍시다.

이제 를 t로 치환합시다.

정리하고 인수분해합시다.

t=-5,-3 이구요. 아래 두 식이 얻어집니다.

양 변에 x를 곱하면 이차방정식이 되구요. 근을 구해주시면 됩니다.

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