[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (20) 이차방정식의 실근의 부호

이차방정식의 실근의 부호

---

1. 두 근이 모두 양수일 조건

이차방정식의 두 근이 모두 양수이기 위한 조건입니다. 어떤 조건을 찾는건지 먼저 알아야 해요. 계수의 조건을 찾는 것입니다. 예를 들면 이런 문제입니다. 

에서 두 근이 모두 양수일 조건을 고르시오.

답은 k의 범위가 됩니다. 

일단 두 근이 존재해야 합니다. 판별식 D가 0보다 커야 하죠. 그리고 두 근이 양수니까 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 양수겠죠? 근과 계수의 관계를 이용해서 두근의 합과 곱이 양수라는 조건을 추가해주시면 됩니다. 이제 찾은 조건들을 이용해서 k의 범위를 구하면 답입니다. 아래 그림에 구하는 과정을 나타냈습니다. 

K의 범위는 -4<k<-2 가 됩니다. 

2. 두 근이 모두 음수일 조건

1. 번을 이해하신 분들은 나머지 내용이 너무 쉬울거에요. 두 근이 음수려면 일단 두 근이 존재해야하고(D>0), 두 근의 합은 음수, 두 근의 곱은 양수라는 조건으로 답을 구해주시면 됩니다. 

3. 두 근이 서로 다른 부호일 조건

근이 두개이기 때문에 D>0인 조건이 필수적이다. 부호만 다르면 되기 때문에 두 근의 합은 음수가 될 수도 있고 0이 될 수도 있고 양수가 될 수도 있다. 따라서 두 근의 합 조건은 무의미하다. 두 근의 곱은 음수가 되면 된다. 자 그런데 판별식을 다시 한번 살펴봅시다. 이죠. 그런데 두 근의 곱이 음수라면이죠. a와 c의 부호가 다르다는 뜻입니다. 그럼 ac는 음수입니다. -4ac는 항상 양수가 되겠죠? 두 근의 곱이 음수라는 조건이 붙으면 판별식은 항상 양수가 되기 때문에 D>0이라는 조건은 필요가 없어집니다. 따라서 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 ‘두 근의 곱이 음수’인 조건 하나만 있으면 됩니다. 

4. 두 근의 부호가 다르고 절댓값이 같을 조건

두 근의 부호가 다른 조건인 ‘두 근의 곱이 음수’인 조건이 필요합니다. D>0인 조건은 필요없겠죠?(3번 참고) 이제 두 근의 부호가 다르게 됐는데, 절댓값이 같으려면 어떤 조건이 더 필요할까요? 부호가 다르고 절댓값이 다르면 합이 0이 됩니다. 따라서 ‘두 근의 합=0’ 인 조건이 더 필요합니다. 

5. 음근의 절댓값이 양근보다 클 조건

음근과 양근이 등장하니까 두 근의 부호가 다릅니다. 따라서 ‘두 근의 곱이 음수’ 인 조건이 들어갑니다. 3번의 이유로 D>0인 조건은 필요가 없어요. 음근이 양근보다 절댓값이 크니까 두 근의 합이 음수겠죠? ‘두 근의 합<0’인 조건을 추가해주시면 됩니다. 

6. 양근의 절댓값이 음근보다 클 조건

이쯤 되면 스스로 조건을 구하실 수 있겠죠? 넘어가겠습니다.

전체 모듈 한눈에보기 링크