[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (41) 연립이차방정식(이차+이차)

연립이차방정식(이차+이차)

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연립이차방정식 에서 두 식이 모두 이차식인 경우입니다. 세가지 유형이 있는데, 하나씩 공부해보겠습니다. 

1. 한 식이 인수분해되는경우

두 식중 한 식이 인수분해가 된다면, 인수분해 된 식을 다른 식에 대입해주는 것으로 미지수를 줄일 수 있습니다. 예를들어봅시다. 

첫번재 식을 인수분해합시다. 

따라서 두가지 등식을 얻을 수 있습니다. 

x=4y, x=-2y 

얻은 등식을 두번째 식에 대입합시다. 

1) x=4y를 대입하는 경우

두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=4y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 

2) x=-2y를 대입하는 경우

두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=-2y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 

따라서 총 네 쌍의 해가 구해집니다. 

2. 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우

인수분해가 되지 않을 때는 각자의 식으로 해볼 수 있는게 없습니다. 따라서 무언가 소거하는 방식으로 접근해야 합니다. 소거가 가능한 항은 세가지가 있죠. 

1) 이차항 소거

이차항을 소거했을 때 풀리는 문제는 이차항을 소거하고 일차식만 남길 수 있는 경우입니다. 아래와 같은 유형이죠.  

첫번째 식을 두배하고 두번째 식을 빼주면 일차식만 남습니다. 

이 일차식을 한 문자에 대해 정리하고, 두 식중 하나에 대입하면 한 문자에 대한 이차방정식이 생깁니다. 근을 구해주면 됩니다. 

2) 일차항 소거

일차항이 소거해서 풀리는 문제는 일차항을 소거하고 이차항과 상수항만 남는 문제입니다. 그것도 하나의 이차식만 남아야 하죠. 아주 특수한 경우이고 거의 나올일이 없겠지만 예를 들어보겠습니다. 

첫번째 식을 두배하고 두번째 식을 빼줍니다. 

x=1, -1이 나옵니다. 대입해서 y를 구해줍니다. 

3) 상수항 소거

상수항을 소거해서 일차식이 남겨졌다면, 이차식에 대입해서 풀면 됩니다. 상수항을 소거했는데 이차식이 남겨진다면 인수분해를 시도합니다. 인수분해가 된다면  일차식들을 한 문자로 정리해서 대입하는 방법으로 풀면 됩니다. 

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