루트 2는 무리수 증명

유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 입니다. 무리수가 발견되지 전에는 만물의 근원이 정수라고 생각했습니다. 유리수의 구성요소도 정수였기 때문입니다. 그러다 유리수로 표현되지 않는 수가 발견됩니다. 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 유리수로 나타낼 수 없었습니다. 

 

한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 x라고 두고 x가 무리수인 것을 증명해보겠습니다. 

먼저 피타고라스 정리에 의해 아래 등식이 성립합니다. 

$x^2=1+1$

변형하면 아래와 같습니다. 

$x^2=2$   (1)

위 식을 1번식이라고 두겠습니다. 

x가 무리수라는 증명에는 '귀류법'이 사용됩니다. 귀류법의 귀는 따라갈 귀, 류는 잘못될 류 입니다. 잘못된 길을 따라가서 모순에 이르게 됨을 보여서 애초에 그 주장이 잘못됐다는 것을 증명하는 것입니다. 

x를 유리수라고 가정합시다. x가 유리수라면 서로소인 정수의 비로 나타낼 수 있습니다. 

$x=\frac{a}{b}$

a와 b는 서로소입니다. 위 식의 양변을 제곱합시다. 

$x^2=\frac{a^2}{b^2}$

1번 식에 의해 $x^2=2$ 입니다. 위 식에 대입합니다. 

$2=\frac{a^2}{b^2}$

아래와 같이 변형합니다. 

$2a^2=b^2$

2가 곱해져 있으므로 좌변 $2a^2$ 은 짝수입니다. 따라서 우변 $b^2$도 짝수입니다. $b^2$이 짝수이려면 b도 짝수여야 합니다. b가 홀수라면 제곱해서 짝수가 될 수 없기 때문입니다. 따라서 $b=2m$ 으로 둘 수 있습니다. 위 식에 대입합시다. 

$2a^2=(2m)^2$

약분하면 아래와 같습니다. 

$a^2=2m^2$

따라서 $a^2$은 짝수이고, a도 짝수입니다. a와 b 둘다 짝수라는 결론이 나오는데, 이는 서로소라는 가정에 모순이 됩니다. 따라서 x는 유리수라는 가정이 틀린 것이고, 유리수가 아닌 무언가가 존재하는 것입니다. 

 

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