미분방정식에서 1계, 2계, 제차, 비제차, 선형 비선형이 뭔가요?

미분방정식은 계, 제차/비제차를 기준으로 나눌 수 있습니다. 

 

1. 계란 무엇인가

미분방정식에 포함된 도함수에서 가장 많이 미분된 횟수를 계 또는 차수라고 부릅니다. 1계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. 

 

$a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$

 

2계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. 

 

$a_{2}(x)\frac{d^2 y}{dx^2}+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$

 

n계 미분방정식의 예시는 아래와 같습니다. 

 

$a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$

 

2. 제차/비제차란 무엇인가

제차는 위 식에서 h(x)가 0인 경우를 말합니다. 제차는 영어로 homogeneous 입니다. 

 

$a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=0$

 

위 식은 n계 제차 미분방정식입니다. 비제차는 $h(x)$가 0이 아닌 경우입니다.  

 

3. 선형/비선형이란 무엇인가

위에서 다룬 미분방정식이 선형입니다. n계 제차 선형 미분방정식은 아래와 같습니다. 

 

$a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$

 

미분방정식의 선형/비선형을 나누는 기준은 $y$입니다. y에 대해 비선형이라는 것이 어떤 의미인지 알아봅시다. 위 식의 좌변을 $F(y)$ 라고 둡시다. 

 

$F(y)=a_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=h(x)$

 

$y$대신 $y_{1}+y_{2}$을 넣었을 때, $F(y)=F(y_{1})+F(y_{2})$ 가 성립하면 선형입니다. 이 등식이 성립하지 않으면 비선형입니다. 

 

예를 들면 $y^2$, $y'y$ 등이 들어 있으면 비선형입니다. $\sin(y)$ 같은 항이 있어도 비선형입니다.