그래디언트의 이해 (3) 그래디언트의 의미

지난시간에 유도한 방향도함수 수식은 아래와 같습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

곡면 $z=f(x,y)$ 위의 점 (x,y,z) 에서 벡터 $\vec{u}$ 방향으로의 접선의 기울기를 의미합니다. 

위 식의 우변을 아래와 같이 두 벡터의 내적으로 표현할 수 있습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\left ( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right ) \cdot \left ( u_{x},u_{y} \right )$

 

이제 이 방향도함수가 언제 최댓값을 갖는지 알아봅시다. 이를 알기 위해 우변에 내적 공식을 적용하겠습니다. 

 

$D_{u}f(x,y)=\left|\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}  \right|\left| u_{x},u_{y} \right|\cos\theta$

 

방향도함수는 언제 최댓값을 가질까요? $\cos\theta$에 달려 있는데, $\cos\theta$는 $\theta$가 0도일 때 최댓값을 갖습니다. $\theta$가 0도일 때는 두 벡터의 방향이 같을 때 입니다. 벡터 $\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)$는 방향이 정해진 상태이므로, $\vec{u}$가 $\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)$  방향일 때 우변은 최댓값을 갖습니다. 이를 통해 $\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)$ 의 방향이 경사가가장 가파른 방향이라는 것을 알 수 있습니다. 이쯤 되면 $\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)$ 에 특별한 이름을 붙여도 되겠죠? 이 식을 아래와 같이 변형하겠습니다. 

 

$\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)=\left( \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y} \right)f$

 

f 앞에 있는 벡터는 어떤 함수에 곱하면 가장 가파른 방향을 알려주는 벡터입니다. 그레디언트라고 이름 붙이고 기호도 하나 만들어줍시다. 

 

$\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)=\nabla f$

 

그레디언트는 이렇게 탄생하게 되었습니다. 그렇다면 $\bigtriangledown f$ 크기는 어떤 의미를 가질까요? 방향도함수로 다시 돌아가봅시다. 

 

$D_{u}f(x,y)=\left | \bigtriangledown f \right | \left | \vec{u} \right |\cos \theta$

방향도함수는 $\theta$가 0일 때 가장 큰 값을 가지므로 $\theta$에 0을 넣어줍시다. $\cos 0$은 1입니다. 따라서 위 식은 아래와 같이 변형됩니다.  

 

$D_{u}f(x,y)=\left | \bigtriangledown f \right | \left | \vec{u} \right |$

 

u는 단위벡터이므로 u의 크기는 1입니다. 따라서 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$D_{u}f(x,y)=\left | \bigtriangledown f \right |$

 

$\theta$가 0일 때 방향도함수가 최대가 되고, 이때 방향도함수의 크기는 $\left | \bigtriangledown f \right |$ 라는 것을 알 수 있습니다. 

$\bigtriangledown f$ 의 의미를 정리해보면 아래와 같습니다.

$\bigtriangledown f$ 의 방향 : 경사가 최대가 되는 방향
$\bigtriangledown f$ 의 크기 : 경사가 최대일 때의 방향도함수의 크기