그래디언트의 이해 (3) 그래디언트의 의미

지난시간에 유도한 방향도함수 수식은 아래와 같습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

곡면 $z=f(x,y)$ 위의 점 (x,y,z) 에서 벡터 $\vec{u}$ 방향으로의 접선의 기울기를 의미합니다. 

위 식의 우변을 아래와 같이 두 벡터의 내적으로 표현할 수 있습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\left ( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right ) \cdot \left ( u_{x},u_{y} \right )$

위 식 우변의 첫 항은 함수 f의 그래디언트입니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\bigtriangledown f \cdot \vec{u}$

이제 $\bigtriangledown f $의 의미를 생각해봅시다. 위 식 우변의 내적을 계산하면 아래와 같습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\left | \bigtriangledown f \right | \left | \vec{u} \right |\cos \theta$

방향도함수는 언제 최댓값을 가질까요? $\theta$가 0도일 때 최댓값을 갖습니다. $\vec{u}$ 의 방향이 $\bigtriangledown f$와 같을 때 경사가 가장 가파르게 됩니다. 따라서 $\bigtriangledown f$ 의 방향은 경사가 가장 가파른 방향을 의미합니다. 그렇다면 $\bigtriangledown f$ 크기는 어떤 의미를 가질까요? $\left | \vec{u} \right |$ 의 크기가 1이므로 위 식은 아래와 같이 계산됩니다. 

$D_{u}f(x,y)=\left | \bigtriangledown f \right |\cos \theta$

$\theta$가 0일 때 방향도함수가 최대가 되고, 이때 방향도함수의 크기는 $\left | \bigtriangledown f \right |$ 입니다. 

$ \bigtriangledown f $ 의 의미를 정리해보면 아래와 같습니다.

$ \bigtriangledown f $ 의 방향 : 경사가 최대가 되는 방향
$ \bigtriangledown f $ 의 크기 : 경사가 최대일 때의 방향도함수