3차원 곡면에서 접평면 구하는 방법

2차원 평면에서의 곡선은 $y=f(x)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $y=x^2$이 있습니다. 3차원 공간에서의 곡면은 $z=f(x,y)$ 형태로 표현됩니다. 예를 들면 $z=x^2+y^2$이 있습니다.  $z=x^2+y^2$의 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 빨간색이 x축, 초록색이 y축, 파란색이 z축입니다. 

 

 

포물선을 z축을 중심으로 회전시킨 모양입니다. $z=x^2+y^2$ 의 x자리에 0을 한번 넣어봅시다. 아래와 같은 이차함수됩니다. 

 

$z=y^2$

 

x가 0이라는 것이 어떤 의미일까요? $z=x^2+y^2$ 에서 x가 0인 점들을 생각해봅시다. 이 점들은 아래와 같이 x=0 인 평면으로 $z=x^2+y^2$ 을 자른 단면과 같습니다. 단면의 형상은 $z=y^2$인 포물선입니다. 

 

 

이제 본격적으로 3차원 곡면에서의 접평면을 구해봅시다. 3차원 곡면을 $z=f(x,y)$ 이라고 놓겠습니다. 곡면 위의 한 점 P를 $(x_{0},y_{0},z_{0})$라고 놓겠습니다. 이 점을 지나는 접평면의 방정식을 구해볼 것입니다. 점 P에서의 접평면의 법선백터를 $(A,B,C)$ 라고 놓겠습니다. 접평면 위의 한 점을 $(x,y,z)$라고 놓으면 아래와 같은 벡터를 정의할 수 있습니다. 

 

$(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})$

 

이 벡터는 평면 위에 있는 벡터이므로 평면의 법선벡터와 수직입니다. 서로 수직인 두 벡터는 내적하면 0입니다. 따라서 아래 등식을 얻습니다. 

 

$(A,B,C)\cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0$

 

내적을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$-C(z-z_{0})=A(x-x_{0})+B(y-y_{0})$

 

$-C$로 양 변을 나눠줍니다. 

 

$(z-z_{0})=-\frac{A}{C}(x-x_{0})-\frac{B}{C}(y-y_{0})$

 

아래와 같이 치환합니다. 

 

$(z-z_{0})=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})$

 

$y=y_{0}$ 를 대입합시다. 아래와 같은 직선을 얻을 수 있습니다.

 

$(z-z_{0})=a(x-x_{0})$

 

이 직선은 어떤 직선일까요. 곡면 $z=f(x,y)$ 를 $y=y_{0}$ 로 자르면 곡선이 하나 생깁니다. 이 곡선 위의 점  $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 에서의 접선이 위 직선입니다. x축에 평행하고 $z=f(x,y)$에 접하는 직선입니다. 이 직선의 기울기는 $f(x,y)$를 x로 편미분한 뒤 $(x_{0},y_{0})$를 대입하여 구할 수 있습니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

 

$f_{x}(x_{0},y_{0})$

 

위 직선의 기울기는 a이므로 아래 등식이 성립합니다.

 

$a=f_{x}(x_{0},y_{0})$

 

다시 아래 식으로 돌아가봅시다. 

 

$(z-z_{0})=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})$

 

이번에는 $x=x_{0}$를 대입합시다. 

 

$(z-z_{0})=b(y-y_{0})$

 

같은 이유로 b는 $z=f(x,y)$를 y로 편미분한 뒤 $(x_{0},y_{0})$를 대입하여 구할 수 있습니다. 

 

$b=f_{y}(x_{0},y_{0})$

 

따라서 우리는 아래와 같은 접평면의 방정식을 얻을 수 있습니다. 

 

$(z-z_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$