미분형식 이해하기 (1) dx와 dy의 문제점

라이프니츠는 $x$와 $y$의 아주 작은 증가량을 dx와 dy라는 기호를 이용하여 나타냈습니다. 함수 f(x)에서 dx와 dy의 관계는 아래와 같습니다. 

 

$dy=f(x+dx)-f(x)$

 

라이프니츠는 dx와 dy를 무한히 작은 양이라는 의미인 무한소라고 가정합니다. 무한소를 이용하여 순간변화율을 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}$

 

무한소를 0은 아니지만 어떤 수 보다도 작은 수라고 정의했습니다. 그런데 dy와 dx가 0보다 큰 값을 가지면 $\frac{dy}{dx}$은 순간변화율이 아니게 되는데 이러한 모순은 해결하지 않고 넘어갔습니다. 

 

이후 실수체계가 확립되고 나서 무한소는 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 무한소를 수로 놓는 순간 0과 무한소 사이에 있는 또다른 수를 정의할 수 있기 때문입니다. dx와 dy는 수가 아니므로 개별적으로 사용할 수 없습니다. $\frac{dy}{dx}$는 $dy$를 $dx$로 나눈 값이 아니라, 아래와 같은 극한값으로 정의했습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

 

하지만 $dx$와 $dy$는 개별적으로 사용할 때 계산이 편리해지는 경우가 있었고, 미분형식이라는 개념을 도입하여 $dx$와 $dy$를 부활시킵니다. 무한소라는 개념을 부활시킨 것은 아닙니다. 실수체계와 충돌하지 않는 새로운 의미를 부여합니다. 다음 시간부터 함께 공부해봅시다.