미분과 극한 제대로 이해하기 (3) 극한을 엄밀하게 정의한 입실론-델타

우리는 극한이라는 개념을 도입하여 함수 $y=x^2$ 위의 한 점 $A(a,a^2)$ 에서 그은 접선의 기울기를 아래와 같이 정의했습니다. 

 

A에서의 접선의 기울기 = $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}$

 

이 값은 h가 0으로 갈 때, $\frac{2ah+h^2 }{h}$ 은 2a에 한 없이 가까워져 가므로 극한값은 2a 입니다. 그런데 누군가 이렇게 묻습니다. 2a로 한 없이 가까워져 간다는걸 어떻게 확신하는데? h는 0에 아주 가까워지면서 뭔가 다른 값이 되지 않으리란 보장이 있어? 

 

질문을 듣고 다시 생각해 보니 헷갈립니다. 더 엄밀한 정의가 필요해 보입니다. 이러면 어떨까요? $\frac{2ah+h^2 }{h}$와 2a의 차이를 어떤 값으로 잡아도 , 차이를 그 값보다 더 작게 할 수 있는 h가 존재한다는 것을 증명하는 것입니다. 이 논리를 가다듬어서 탄생한 방법이 입실론-델타 방법입니다. 아래와 같습니다. 

 

0보다 큰 모든 $\varepsilon$에 대하여 아래 조건을 만족하는 $\delta$가 존재하면, $\lim_{h\rightarrow a}f(x)=L$이다. 

 

조건) 만약 $0<\left |x-a \right |<\delta$ 라면, $\left |f(x)-L \right |<\varepsilon$ 이다.

 

입실론-델타 법을 접선의 기울기를 구하는 데 적용해보기 전에, 간단한 예시를 먼저 풀어봅시다. 아래와 같은 문제입니다. 

 

$\lim_{h\rightarrow 0}x+2=4$ 를 증명하시오.

 

입실론-델타 법을 이용하겠습니다. 아래 조건을 보이면 증명이 됩니다. 

 

만약 $0<\left| x-2 \right| <\delta$ 라면, $\left| x+2-4 \right | < \varepsilon$ 이다. 

 

증명해봅시다. $\left | x+2-4 \right |$ 는 $\left |  x-2  \right |$ 입니다. 이때 $\delta=\varepsilon$ 으로 놓으면  $\left |   x+2-4 \right |=\left |    x-2 \right |<\delta=\varepsilon$ 이 됩니다. 증명이 되었습니다.

 

본론으로 들어가서 이번에는 아래 등식을 증명해봅시다. 

 

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2ah+h^2 }{h}=2a$

 

아래 조건을 보이면 됩니다.

 

만약 $0<\left| h-0 \right| <\delta$ 라면, $\left| \frac{2ah+h^2 }{h}-2a \right | < \varepsilon$ 이다. 

 

두번째 식에서 h는 0이 아니므로 약분되서 $\left |   2a+h-2a \right | < \varepsilon$ 가 됩니다. 계산하면  $\left |   h \right | < \varepsilon$ 입니다. 이때 $\delta=\varepsilon$ 으로 놓으면  $\left |   \frac{2ah+h^2 }{h}-2a \right | =\left |   2a+h-2a \right |= \left | h \right | <\delta=\varepsilon$ 입니다. 증명되었습니다.