미분형식 이해하기 (3) 전미분공식 유도

미분형식의 개념을 3차원으로 확장하면 이변수 함수의 전미분 공식이 유도됩니다. $z=f(x,y)$라는 곡면이 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(a,b,c)$에서의 접선을 $\vec{v}$라고 놓겠습니다. $dx, dy, dz$를 정의할 건데요. 각각을 접선벡터 $\vec{v}$의 x,y,z 방향 성분으로 정의합시다. 

이제 $dx,dy,dz$ 사이의 관계식을 구해볼겁니다. 점 P에서의 접평면의 방정식을 이용합시다. 점 P에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다. 

$(z-a)=f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)$

접평면 방정식의 유도는 링크를 참고하세요.

점 $(a+dx(\vec{v}),b+dy(\vec{v}),c+dz(\vec{v}))$ 는 벡터 $\vec{v}$의 종점이므로 위 평면 위의 점입니다. 평면의 방정식에 대입하면 아래와 같습니다. 

$dz(\vec{v})=f_{x}(a,b)dx(\vec{v})+f_{y}(a,b)dy(\vec{v})$

점 P를 (x,y,z)로 일반화 시키면 아래와 같습니다. 

$dz(\vec{v})=\frac{\partial f}{\partial x}dx(\vec{v})+\frac{\partial f}{\partial y}dy(\vec{v})$

벡터 $\vec{v}$ 의 방향이나 크기를 특정하지 않고 유도했기 때문에 위 등식은 $\vec{v}$의 방향과 크기와 상관없이 성립합니다. 따라서 아래 전미분 공식이 유도됩니다. 

$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$