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확률 용어 '사건' 영문번역이 이상해요(아시는분 답변좀) 확률에 대한 용어를 정리하다가 혼란이 왔습니다. 확률에 용어 중에 사건에 대한 용어가 많이 있습니다. 공사건, 합사건, 배반사건, 합사건 등이 있습니다. 네이버에 '곱사건'이라고 검색을 하면 product event라고 뜹니다. 두 사건의 교집합을 곱사건이라고 한다고 되어있습니다. 구글에 product event라고 검색하면 나오지 않습니다. product event probability라고 검색해도 안나옵니다. 곱사건이라는 용어가 쓰이질 않습니다. 다른 용어로 검색해봤습니다. 곱사건은 intersection of event 라고 되어 있습니다. 합사건은 union event라고 나오는데요. 합사건을 네이버에 검색하면 sum event 라고 나옵니다. sum event를 다시 구글에 검색하면 안나옵니다... 2021. 1. 2.

하트모양 함수를 그려보았습니다 (+그래프 그려주는 사이트 소개) 오늘은 함수 를 입력하면 그래프를 그려주는 사이트를 소개해 드리려고 합니다. 구글 검색창에 울프 람 알파 라고 검색합니다. 처음 나오는 이 사이트를 들어갑니다. 이렇게 들어가면 검색창 같은게 뜨거든요. 여기다가 원하는 모양의 함수 를 입력하면 그 함수의 그래프를 출력해 줍니다. x=y를 입력해봅시다. 콤마를 이용하면 두개의 그래프를 동시에 그려줍니다. 매개변수 형태로도 입력이 가능합니다. y=sin(2t), x=cos(t)를 입력해봅시다. 그리고 좀 특이한 함수를 한번 그려보겠습니다. 하트펑션이라고 하는데요. 하트모양을 그려줍니다. (x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0 라고 입력합시다. 2021. 1. 2.

1=2증명 미분을 이용하여 1=2 임을 증명해보겠습니다. 아래와 같은 규칙으로 수를 적어봅시다. $2^{2}=4=2+2$ $3^{2}=9=3+3+3$ $4^{2}=16=4+4+4+4$ 이 원리로 x의 제곱을 써보면 아래와 같습니다. $x^{2}=x+x+...+x\ \ \ \ \left(x개\right)$ 양변을 미분해봅시다. $2x=1+1+...+1\ \ \ \ \left(x개\right)$ 우변은 x입니다. $2x=x$ 양변을 x로 약분합시다. $2=1$ 2021. 1. 2.

5로 끝나는 수의 제곱 3초만에 구하는 법 5로 끝나는 수의 제곱을 3초만에 구하는 방법을 알려드리겠습니다. 예를 들어 55의 제곱을 구하면 3025인데요. 30과 25로 나눠보면 30은 5와 6의 곱입니다. 55에서 십의자리수와 그 수에 1을 더한 수를 곱한 것입니다. 뒤에 25는 5의 제곱이구요. 25에 적용해봅시다. 십의자리 2와 2에 1을 더한수인 3을 곱하면 6입니다. 따라서 25의 제곱은 625입니다. 65에 적용해볼까요? 6곱하기7은 42니까. 65의 제곱은 4225입니다. 원리를 분석해봅시다. 5로 끝나는 두자리수를 A5 라고 합시다. 10*A+5입니다. 이 수를 제곱해봅시다. $\left(10A+5\right)^{2}=100A^{2}+100A+25$ 아래와 같이 묶어봅시다. $\left(10A+5\right)^{2}=100A\le.. 2021. 1. 2.

확률의 장난 (셰익스피어의 성경 개입설) 오늘은 우연히 일어났다 고 하기에는 너무나 신기한 역사적 사건을 말씀드리려고 합니다. 셰익스피어가 시편 46편을 쓰는데 개입을 했다는 주장에 근거가 되는 이야기입니다. 구글의 다가 시편 46 편이라고 치고요. sha 라고 누르면 여기 셰익스피어가 나옵니다. 시편 36편 어떤 관계가 있길래 이런 검색어가 자동으로 등장하는지 오늘 말씀 드리도록 하겠습니다. 위키피디아에 시편 46 편을 검색을 하면 맨 아래 레퍼런스 위에 이런 내용이 있습니다 셰익스피어에 성경 개입설입니다. 셰익스피어가 킹제임스성경 을쓰는데 개입했다는 내용인데요. 킹제임스 성경의 시편 46편 을 펴고 말씀을 드리도록할게요. 시편 46 편에서, 앞에서 46번째 단어를 찾으면 쉐이크가 있습니다. 그리고 뒤에서 46번째 단어를 찾으면 스피어 가 있.. 2021. 1. 2.

SAT (미국수능) 수학 초고난이도 문제를 풀어보았습니다 구글에 sat math question 이라고 검색하면 가장 먼저 뜨는 글이 있습니다. 13개의 가장 어려운 SAT 수학문제라는 글입니다. 클릭해서 들어가면 13개의 문제를 볼 수 있습니다. 이 문제 중 몇개를 풀어봤습니다. 한국 수능과 비교하여 얼마나 어려울지 궁금하신 분들은 아래 영상을 클릭하시면 됩니다. 2021. 1. 2.

0=1 증명 (오류를 찾아보세요) 0이 1과 같다는 것을 증명해보겠습니다. 당연히 말이 안되는 이야기구요. 오류를 찾아보시면 됩니다. $-12=-12$ 라는 등식에서 출발하겠습니다. 아래와 같이 변형합시다. $9-21=-12$ 우변은 아래와 같이 변형합시다. $9-21=16-28$ 좌변의 9를 3의 제곱으로 21을 3*7 로 변형합시다. $3^{2}-3\cdot 7=16-28$ 우변의 16을 4의 제곱으로, 28을 4*7로 변형합시다. $3^{2}-3\cdot 7=4^{2}-4\cdot 7$ 앙변에 4/49를 더합니다. $3^{2}-3\cdot 7+\frac{49}{4}=4^{2}-4\cdot 7+\frac{49}{4}$ 아래와 같이 변형합시다. $3^{2}-7\cdot 3+ \left(\frac{7}{2} \right)^{2}=4^{2.. 2021. 1. 2.

치매예방! 한 손으로 31까지 세는 법 한손으로 몇까지 셀 수 있을까요? 10이라고 생각하셨을텐데. 한손으로 31까지 세는 방법이 있어서 가져왔습니다. 치매 예방에도 도움이 된다고 합니다. 원리는 2진법입니다. 아래 영상을 참고해주세요~ 2021. 1. 2.

모든 자연수의 합이 음수인 이유 모든 자연수의 합을 음수로 만들어보겠습니다. S1을 아래와 같이 정의합시다. $S_{1}=1-1+1-1+1-1+...$ 아래와 같이 묶어주겠습니다. $S_{1}=1-\left(1-1+1-1+1+...\right)$ 따라서 괄호 안이 S1이 됩니다. $S_{1}=1-\left(S_{1}\right)$ 이항하여 계산하면 S1은 1/2가 됩니다. $S_{1}=\frac{1}{2}$ 이번에는 S2를 아래와 같이 놓겠습니다. $S_{2}=1-2+3-4+5-6+...$ 이번에는 S2를 한칸씩 오른쪽으로 밀겠습니다. $\begin{align*} &S_{2}=1-2+3-4+5-6+...\\&S_{2}= \qquad 1-2+3-4+5-6+... \end{align*}$ 두 식을 더합시다. $2S_{2}=1-1+1-1+1.. 2021. 1. 2.

0!=1 인 이유, a^0=1 인 이유 0!은 왜 1일까요? 고등학교에서 팩토리얼을 배울 때, 우리는 0!이 1이라고 '정의'한다고 배웠습니다. 물론 정의한게 맞지만, 납득할 만한 설명이 있어서 가져와봤습니다. 1!은 1 2!은 2 3!은 6 4!은 24 5!은 120 입니다. 반대로 생각해봅시다. 5!이 4!이 될 때, 5로 나눠줍니다. 4!이 3!이 될 때, 4로 나눠줍니다. 3!이 2!이 될 때, 3으로 나눠줍니다. 2!이 1!이 될 때, 2로 나눠줍니다. 1!이 0!이 될 때는 무엇으로 나누면 될까요? 1로 나누면 됩니다. 1!을 1로 나누면 1입니다. 따라서 0!은 0입니다. 그렇다면 a의 0제곱은 왜 1일까요. 아래 영상을 참고해주세요^^ 2021. 1. 2.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (22) 역함수의 성질 (함수 1개) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(22) 역함수의 성질 (함수 1개)] 역함수의 성질 (함수1개) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. ㅇ4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 1,2번을 증명해봅시다. 1,2번은 한가지 함수만을 다루는 경우입니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $$(f^{-1})^{-1}=f$$ 아래 그림에서 역함수는 화살.. 2020. 12. 29.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법] 역함수 구하는 방법 $y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다. $y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. $$x=3y+2$$ 이제 $y=f^{-1}(x)$ 형.. 2020. 12. 22.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (20) 역함수가 존재할 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(20) 역함수가 존재할 조건] 역함수가 존재할 조건 함수 f: X→Y 의 역함수가 존재할 조건을 알아봅시다. 역함수가 존재하지 않는 경우를 살펴보며 존재할 조건을 알아내도록 합시다. 1) 공역과 치역이 다른 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 공역과 치역이 같아야 합니다. 2) 함수값이 중복되는 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 일대일 함수여야 합니다. 두 조건을 종합해보면, 공역과 치역이 같아야 하고 일대일함수여야합니다. 공역과 치역이 같고 일대일 함수인 경우는 '일대일 대응'입니다. 역함수가 존재할 조건은 '일대일 대응'입니다. 반대로 두 함수가 일대일 대응이여도 역함수가 존재합니다. 따라서 일대일 대응은 역함수가 존재할 필요.. 2020. 12. 15.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (19) 역함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(19) 역함수란 무엇인가] 역함수란 무엇인가 역함수는 함수를 반대방향으로 정의한 것입니다. 정의역이 치역이 되고, 치역이 정의역이 되는 것입니다. 화살표 방향이 반대로 바뀐다고 이해하시면 됩니다. 아래 함수 f(x)를 봅시다. f(x)를 반대방향으로 정의하면 아래와 같습니다. 기호로는 로 나타냅니다. 이 함수를 f(x)의 역함수라고 부릅니다. 기호를 이용하여 함수 f(x)와 그 역함수를 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 12. 8.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴] 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 세번째 성질을 증명해봅시다. 항등함수와 합성 시 자기 자신이 나온다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 증명해봅시다. 먼저 첫번째 식의 순서로 항등함수와 f를 함성하면 아래와 같습니다. 정의역을 x로 놓겠습니다. 항등함수 I(x) 는 x입니다. I(x)=x 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 이번에는 두번째 식의 순서로 항등함수와 f를 합성해 봅시다. 위에서와 같은 이유로 아래와 같이 변형됩니다.. 2020. 12. 1.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함] 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다. 이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 .. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함] 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 두 함수 f, g에 대하여 이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다. - 직접증명- 수학적 귀납법- 귀류법- 반례 반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습.. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건] 함수의 합성이 가능하기 위한 조건 아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 아래 두 함수 f와 g를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 이번엔 아래 함수를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. g(f(1.. 2020. 11. 18.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (14) 합성함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(14)합성함수란 무엇인가] 합성함수란 무엇인가 세 집합이 있다고 합시다. 세 집합을 X, Y, Z 라고 놓겠습니다. 세 집합으로 함수를 정의하겠습니다. X에서 Y로의 함수를 하나 정의하고 f(x)라고 놓겠습니다. Y에서 Z로의 함수를 하나 정의하고 g(x)라고 놓겠습니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. f(x) 와 g(x)를 이용하면, X에서 Z로의 함수를 하나 정의할 수 있습니다. g(f(x)) 입니다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 합니다. g(f(x)) : f와 g의 합성함수 합성함수를 나타내는 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 위 함수를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 10. 20.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (13)상수함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(13)상수함수의 개수] 상수함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 상수 함수의 개수를 구해봅시다. 상수 함수는 X의 함수값이 전부 하나의 Y값으로 가는 경우를 말합니다. 따라서 위 경우 상수함수의 개수는 5가지입니다. 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 위 경우, 상수함수의 개수는 m개 입니다. 2020. 10. 13.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (12) 일대일 대응의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(12)일대일 대응의 개수] 일대일 대응의 개수 일대일 대응은 x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 대응입니다. 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 일대일 대응에서는 집합 X와 Y의 원소 수가 같아야 합니다. 집합 X와 Y 모두 세개의 원소가 있다고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 3개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 3가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 2개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 3x2x1 일반화시켜봅시다. 집합 X와 Y의 원소 수를 n개라고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 n개의 선택권, x2는.. 2020. 10. 6.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (11) 일대일 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(11)일대일 함수의 개수] 일대일 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 일대일 함수의 개수를 구해봅시다. 일대일 함수는 X의 함수값이 전부 서로 다른 함수를 말합니다. x의 첫번째 원소인 x1에는 5개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 5가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 4개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 5x4x3 y의 원소가 x보다 많을 때만 일대일함수가 가능합니다. y가 적다면, x의 함수값이 전부 서로 다르게 할 수.. 2020. 9. 29.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (10) 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(10)함수의 개수] 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 2개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 함수의 개수를 구해봅시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 두개에 대응할 수 있으므로, 2의 3제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2³ 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 m개에 대응할수 있으므로, m의 n제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2020. 9. 22.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (11) 정적분의 정의 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(11) 정적분의 정의] 정적분의 정의 정적분은 구분구적법의 수식을 쓰기편한 기호로 바꾸는 과정에서 정의되었습니다. 미분과 무관하게 시작되었다는 것을 꼭 기억하시기 바랍니다. 정적분은 미분의 역과정인 부정적분에 적분 구간을 붙여서 만든게 아닙니다. 정적분은 구분구적법에서 정의된 개념입니다. 먼저 우리가 지난시간까지 유도한 구분구적법 수식을 가져옵시다. 함수 f(x)에서 x=a 부터 x=b 까지의 넓이 S는 아래와 같이 구할 수 있다. 앞에 붙어있는 기호는 Σ 는 Sigma 입니다. 이 Sigma의 첫글자인 S를 따서 적분 기호를 만들었습니다. 위 수식을 아래와 같이 변형하였습니다. 이 수식을 함수 f(x)에서 a에서 b까지의 정적분이라고 합니다. 위와 같이 변환한 과.. 2020. 9. 15.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (9) 구분구적법은 정적분의 아버지 2 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(9) 구분구적법은 정적분의 아버지] 구분구적법은 정적분의 아버지 2 우리는 지난시간에 구분구적법을 배웠습니다. 구분구적법은 넓이를 구하고 싶은 부분을 n개의 조각으로 나누어 넓이를 각각 구해 합하고, n을 무한대로 보내서 원하는 넓이를 구하는 방법입니다. 지난시간의 예시를 다시 가져옵시다. x=a 부터 x=b 사이의 넓이는 아래와 같습니다. 직사각형 조각을 만들 때, 함수보다 작게 만들었습니다. 이와 같은 방식을 lower sum 이라고 합니다. 이번에는 직사각형을 함수보다 크게 만들어보겠습니다. 아래 그림과 같습니다. 첫 사각형의 넓이는 아래와 같습니다. 두번째 사각형도 그려봅시다. 두번째 사각형의 넓이는 아래와 같습니다. k번째 사각형을 그려봅시다. k 사각형의.. 2020. 9. 8.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (8) 구분구적법은 정적분의 아버지 1 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(8) 구분구적법은 정적분의 아버지] 구분구적법은 정적분의 아버지 1 우리는 정적분에 대해 공부하고 있습니다. 정적분의 정의를 배울 차례인데요. 구분구적법을 먼저 배워야 합니다. 구분구적법 없이는 정적분을 정의할 수 없습니다. 정적분은 구분구적법에서 나온 개념이기 때문입니다. 구분구적법은 함수의 넓이를 구하는 방법입니다. 구분구적법을 배우기 전에 제가 문제 하나를 내겠습니다. 아래와 같은 함수 f(x)가 있는데, x=a 부터 x=b 사이의 넓이 S를 구해야 하는 상황입니다. 각자 한번 구해봅시다. 수학의 선배들이 구분구적법을 찾아낼 때 맞이한 상황입니다. 그들은 스스로 찾아냈습니다. 우리도 한번 시도해봅시다. 이런 시도가 수학의 진정한 재미를 가져다줍니다. 아마 성공.. 2020. 8. 26.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (7) 정적분의 정의는 이게 아니다 [수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(7) 정적분의 정의는 이게 아니다] 정적분의 정의는 이게 아니다 우리는 지금까지 부정적분을 배웠습니다. 미분의 반대가 부정적분이었는데요. 부정적분이라는 이름에 붙어있는 부정은 '정해지지 않았다'는 의미입니다. 사실 부정적분이라는 이름은 이후에 붙여진 이름입니다. 원래는 미분이 있고 미분에 반대개념인 적분이 있었습니다. 그러다 정적분이 발견되고, 정적분과 미분의 반대개념인 적분을 연결하는 엄청난 발견을 합니다. 이후 정적분과 구분해 주기 위해 미분의 반대개념의 적분은 '부정적분'이라는 이름이 붙은 것으로 생각됩니다. 부정적분과 정적분을 연결하는 엄청난 발견을 '미적분의 기본정리'라고 부릅니다. 미적분의 기본정리는 정말 놀라운 발견입니다. 뉴튼은 이 정리를 발견하고 이.. 2020. 7. 12.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (6) 함수의 차의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(6) 함수의 차의 부정적분] 함수의 차의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)-G(x)}를 미분하면 f(x)-g(x) 이므로 {F(x)-G(x)}은 f(x)-g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 29.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (5) 함수의 합의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(5) 함수의 합의 부정적분] 함수의 합의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C₁ 라고 놓고 g(x)의 부정적분을 G(x)+C₂라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. {F(x)+G(x)}를 미분하면 f(x)+g(x) 이므로 {F(x)+G(x)}은 f(x)+g(x)의 부정적분입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 우변의 적분상수 C₃ 를 아래와 같이 나눠서 쓰겠습니다. 적분상수라는 것은 '상수라면 뭐든 올 수 있어'라는 의미 이므로 둘로 나눠도 상관 없습니다. 우변의 첫 두항은 f(x)의 부정적분, 나머지 두 항은 g(x)의 부정적분 이므로 아래 등식이 성립합니다. 2020. 6. 25.

[모듈식 수학 2] 3.적분 (4) 함수의 실수배의 부정적분 [수학2]-[3.적분]-[①부정적분]-[(4) 함수의 실수배의 부정적분] 함수의 실수배의 부정적분 f(x)의 부정적분을 F(x)+C라고 놓겠습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 양변을 미분하면 아래 등식도 성립합니다. 양변에 k를 곱합시다. kF'(x)는 {kF(x)}' 와 같습니다. 곱의 미분법을 적용하면 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. kF(x)를 미분한 결과가 kf(x) 이므로, kF(x)는 kf(x)의 한 부정적분이고 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 위에서 사용한 C와 구분하기 위해 C2로 써주었습니다. k로 우변을 묶어봅시다. 대괄호 안의 C2/k 는 적분상수로 해석할 수 있습니다. C2가 모든 값이 될 수 있는 적분상수 이므로, 이 값을 k로 나눠도 의미는 달라지지.. 2020. 6. 24.

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