[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (22) 역함수의 성질 (함수 1개)

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(22) 역함수의 성질 (함수 1개)]

 

역함수의 성질 (함수1개)

역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 

 

1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다.

2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 

3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 

ㅇ4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 

 

이번 글에서는 1,2번을 증명해봅시다. 1,2번은 한가지 함수만을 다루는 경우입니다. 

 

 

1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다.

 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$$(f^{-1})^{-1}=f$$

 

아래 그림에서 역함수는 화살표방향이 반대로 바뀌는 것입니다. 역함수의 역함수는 화살표 방향이 바뀐 상대에서 다시 반대로 바뀌는 것이니 원래대로 돌아옵니다. 

 

 

 

2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 

 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$$(f^{-1}\circ f)(x)=x$$

 

변형하면 아래와 같습니다. 

 

$$f^{-1}(f(x))=x$$

 

아래 그림을 봅시다. 어떤 함수와 역함수를 합성한 그림입니다. x에 1을 넣으면 함수값 1을 갖고, 2를 넣으면 함수값 2를 갖습니다. a를 넣으면 함수 값으로 a를 갖습니다. 이는 항등함수입니다.