모든 자연수의 합이 음수인 이유

 

 

모든 자연수의 합을 음수로 만들어보겠습니다.

S1을 아래와 같이 정의합시다.

$S_{1}=1-1+1-1+1-1+...$

 

아래와 같이 묶어주겠습니다.

 

$S_{1}=1-\left(1-1+1-1+1+...\right)$

따라서 괄호 안이 S1이 됩니다.

$S_{1}=1-\left(S_{1}\right)$

 

이항하여 계산하면 S1은 1/2가 됩니다. 

 

$S_{1}=\frac{1}{2}$

 

이번에는 S2를 아래와 같이 놓겠습니다.

 

$S_{2}=1-2+3-4+5-6+...$

 

이번에는 S2를 한칸씩 오른쪽으로 밀겠습니다. 

 

$\begin{align*} &S_{2}=1-2+3-4+5-6+...\\&S_{2}= \qquad 1-2+3-4+5-6+... \end{align*}$

 

두 식을 더합시다. 

 

$2S_{2}=1-1+1-1+1-1+...$

 

우변은 S1입니다. 

 

$2S_{2}=S_{1}=\frac{1}{2}$

 

따라서 S2는 1/4입니다. 

$S_{2}=\frac{1}{4}$

 

우리가 구하고 싶은 자연수의 합을 S3라고 놓겠습니다. 

 

$S_{3}=1+2+3+4+5+6+...$

 

S3 에서 S2를 뺍시다. 

$S_{2}=1-2+3-4+5-6+...$

$S_{3}-S_{2}=4+8+12+16+...$

 

4로 묵어줍시다. 

 

$S_3-S_{2}=4\left(1+2+3+4+...\right)$

 

괄호 안은 S3입니다. 

 

$S_{3}-S_{2}=4\left(S_{3}\right)$

 

S3에 대해 정리합시다. 

 

$S_{3}=-\frac{1}{3}S_{2}$

 

S2는 1/4이므로, S3는 아래와 같습니다. 

 

$S_{3}=-\frac{1}{12}$

 

모든 자연수의 합이 -1/12가 되었습니다.