[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (11) 일대일 함수의 개수

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(11)일대일 함수의 개수]

일대일 함수의 개수

집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 

집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 

집합 X에서 Y로의 일대일 함수의 개수를 구해봅시다. 일대일 함수는 X의 함수값이 전부 서로 다른 함수를 말합니다. 

x의 첫번째 원소인 x1에는 5개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 5가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 4개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 

함수의 개수 = 5x4x3

y의 원소가 x보다 많을 때만 일대일함수가 가능합니다. y가 적다면, x의 함수값이 전부 서로 다르게 할 수가 없기 때문입니다. 

일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. m이 n보다 크다고 가정합시다. 

x의 첫번째 원소인 x1에는 m개의 선택권, x2는 m-1개의 선택권, x3는 m-2개의 선택권을 가집니다. 이런 규칙에 따라 xn 은 m-(n-1)개의 선택권을 가집니다. 

함수의 개수 : mx(m-1)x(m-2)x...x(m-n+1)