[모듈식 수학 2] 3.적분 (8) 구분구적법은 정적분의 아버지 1

[수학2]-[3.적분]-[②정적분]-[(8) 구분구적법은 정적분의 아버지]

구분구적법은 정적분의 아버지 1

우리는 정적분에 대해 공부하고 있습니다. 정적분의 정의를 배울 차례인데요. 구분구적법을 먼저 배워야 합니다. 구분구적법 없이는 정적분을 정의할 수 없습니다. 정적분은 구분구적법에서 나온 개념이기 때문입니다. 

구분구적법은 함수의 넓이를 구하는 방법입니다. 구분구적법을 배우기 전에 제가 문제 하나를 내겠습니다. 아래와 같은 함수 f(x)가 있는데, x=a 부터 x=b 사이의 넓이 S를 구해야 하는 상황입니다. 

각자 한번 구해봅시다. 수학의 선배들이 구분구적법을 찾아낼 때 맞이한 상황입니다. 그들은 스스로 찾아냈습니다. 우리도 한번 시도해봅시다. 이런 시도가 수학의 진정한 재미를 가져다줍니다. 

아마 성공하신 분들도 있고, 실패하신 분들도 있을텐데요. 수학의 선배들이 찾아낸 방법을 한번 배워봅시다. 수학의 선배들은 구분구적법 하나 생각해내는데 몇년을 사용했을지도 모릅니다. 드디어 발견한 어느 날 얼마나 기뻤을까요. 우리는 이미 발견된 것을 수동적으로 배워서 사용해야하는 입장입니다. 노잼이죠. 수학의 재미는 선배들이 다 차지했고, 우리는 이미 잔뜩 발견된 것들을 숙제하듯 배워야하니 재미가 없는겁니다. 재밌게 수학을 공부하는 방법은 우리가 배우는 내용이 아직 발견되지 않은 때로 돌아가 보는 것입니다. 마치 우리가 새로 발견해가는 것처럼 하나하나 유도해보면 수학이 재밌어질 것입니다. 

자, 이제 넓이 S를 구해봅시다. 

먼저 위 함수의 x구간을 n개로 나눈 뒤에, 아래와 같이 사각형을 그리겠습니다. 

첫번째 사각형의 넓이를 구해봅시다. 밑변의 길이는 (b-a)/n 입니다. a부터 b까지의 길이인 b-a를 n개로 나눈 것입니다. 높이는 f(a)입니다. 따라서 넓이는 아래와 같습니다. 

두번째 사각형의 넓이를 구해봅시다. 

밑변의 길이는 동일한데요. 높이는 a에서 (b-a)/n 만큼 더 커진 곳의 함수값입니다. 넓이는 아래와 같습니다. 

k번째 사각형의 넓이를 구해봅시다. 

밑변의 길이는 동일합니다. 높이는 a에서 (b-a)/n 을 (k-1)번 더한 곳의 함수값입니다. 넓이는 아래와 같습니다. 

이번에는 마지막 사각형의 넓이를 구해봅시다. 

밑변의 길이는 동일합니다. 높이는 a에서 (b-a)/n 을 (n-1)번 더한 곳의 함수값입니다. 넓이는 아래와 같습니다. 

이제 첫번째 사각형부터 마지막 사각형까지 넓이를 더해봅시다. 

위 식에서 n을 무한대로 보내봅시다. n이 무한대로 가면 사각형의 넓이의 합은, 넓이 S에 가까워져 갑니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

위 함수에 적용하면, f(x) 대신 x² 를 넣어주면 됩니다. 어떤 함수에도 적용이 가능합니다. 위와 같이 넓이를 구하고 싶은 부분을 n개의 조각으로 나누어 넓이를 각각 구해 합하고, n을 무한대로 보내서 원하는 넓이를 구하는 방법을 '구분구적법'이라고 합니다.