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고등수학340

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (43) 공통근 문제 공통근 문제 두 이차식이 공통근을 갖는 경우, 공통근을 이용해서 연립방정식 문제를 만들 수 있습니다. 아래 두 이차식이 있다고 해봅시다. 연립방정식 문제를 만들기 위해서 계수에 미지수 k를 넣어놓은 거에요. 그럼 이렇게 문제를 낼 수 있습니다. 두 이차식의 공통근이 존재하는 경우 k를 구하시오. 공통근을 α라고 한다면 위 두 식의 x자리에 넣어줄 수 있습니다. 미지수가 두개인 이차연립방정식이 됐습니다. 2차식을 소거하는 방식으로 풀면 되겠네요. 소거해봅시다. 인수분해해줍니다. k=3 또는 α=-1 입니다. 두가지 경우로 나눠서 풀어봅시다. 1) k=3인 경우 두 이차식이 같아집니다. 따라서 공통근이 존재하는겁니다. k=3이 하나의 답이됩니다. 2) α=-1인 경우 첫번째 식의 x자리에 대입합시다. k=-.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (42) 연립이차방정식(대칭형) 연립이차방정식(대칭형) 연립이차방정식 중 특수한 유형입니다. 근과 계수의 관계로 푸는 유형입니다. 방정식들이 두 미지수의 합, 곱, 합과 곱이 연립된 형태로 되어있습니다. 예를들면 아래와 같은 유형입니다. x와 y를 어떤 이차방정식의 두 근이라고 한다면 두근의 합은 x+y=a, xy=b라고 놓을 수 있습니다. 두근의 곱인 xy=3으로 알고있는 상태인거죠. 이때, 첫번째 은 두 근의 합과 곱의 형태로 나타낼 수 있습니다. 위 식에서 a가 구해집니다. a=4,-4 1) a=4인 경우 x+y=4 , xy=3 인 연립방정식을 풀면 됩니다. 2) a=-4인 경우 x+y=-4 , xy=3 인 연립방정식을 풀면 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (41) 연립이차방정식(이차+이차) 연립이차방정식(이차+이차) 연립이차방정식 에서 두 식이 모두 이차식인 경우입니다. 세가지 유형이 있는데, 하나씩 공부해보겠습니다. 1. 한 식이 인수분해되는경우 두 식중 한 식이 인수분해가 된다면, 인수분해 된 식을 다른 식에 대입해주는 것으로 미지수를 줄일 수 있습니다. 예를들어봅시다. 첫번재 식을 인수분해합시다. 따라서 두가지 등식을 얻을 수 있습니다. x=4y, x=-2y 얻은 등식을 두번째 식에 대입합시다. 1) x=4y를 대입하는 경우 두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=4y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 2) x=-2y를 대입하는 경우 두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=-2y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 따라서 총 네 쌍의 해가 구해집니다. 2. 두 이차.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (40) 연립이차방정식(일차+이차) 연립이차방정식(일차+이차) 연립이차방정식은 최고차항이 이차인 연립방정식입니다. 고등학교 과정에서는 미지수가 2개인 경우만 다룹니다. 미지수가 2개이므로, 식도 2개가 주어집니다. 오늘 다룰 연립이차방정식은 하나의 식은 일차식, 다른 하나의 식은 이차식인 경우입니다. 풀이방법은 간단합니다. 일차식을 한 문자에 대해 정리하고 이차식에 대입하는 것입니다. 예를들어봅시다. 첫번째 식을 x=3-y로 변형하고 두번째 식에 대입해줍니다. 전개하고 y를 구해줍니다. y=3,-1입니다. 따라서 근이 두쌍이 나옵니다. y=3, x=0y=-1, x=4 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (39) 연립일차방정식 연립일차방정식 연립일차방정식을 풀기 위해서는, 미지수의 개수 만큼 식이 있어야 합니다. - 미지수가 1개, 식이 1개 → 일차방정식- 미지수 2개, 식이 2개 → 미지수가 2개인 연립일차방정식- 미지수 3개, 식이 3개 → 미지수가 3개인 연립일차방정식 미지수가 4개부터는 손으로 풀기가 어려워집니다. '선형대수'라는 대학과목에서 역행렬을 이용해서 푸는데요. 고등학교 과정에서는 다루지 않습니다. 아래와 같이 미지수가 3개인 연립방정식을 고려해봅시다. 미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이 방법은 이렇습니다. 미지수 하나를 소거하고, 미지수가 2개인 연립일차방정식을 만들고 풀어줍니다. 계산된 두 미지수를 대입하여 나머지 한 미지수를 구하는 것입니다. 첫번째 식과 두번째 식을 더하면 아래 식이 나옵니다. 두번째.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (38) x³=±1 의 허근 의 허근 1. 의 허근 아래와 같은 삼차식을 고려해봅시다. 1을 이항하고 인수분해 해봅시다. (x-1)에서 실근 1을 갖구요. 2차식의 근을 구해봅시다. 두 허근을 갖네요. 두 허근을 라고 합시다. 이때 몇가지 수식을 만들 수 있습니다. (1)(2) 여기까지는 그냥 대입한 수식입니다. 이제 근과 계수와의 관계를 이용해서 두가지 식을 더 만들어봅시다. (3) (4) 이번에는 지금까지 유도한 식들을 연립해서 몇가지 식을 더 만들거에요. (4)번식의 양변에 오메가 제곱을 곱해봅시다. (1)번식에 의해 오메가 세제곱은 1입니다 따라서 아래 등식이 성립합니다. (4)번식의 양변을 오메가로 나눠봅시다. 위 식과 같이 쓰면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. (5) 2. 의 허근 아래와 같은 삼차식을 고려해봅시다. 1을.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (37) 삼차방정식의 켤레근 삼차방정식의 켤레근 아래와 같은 삼차방정식이 있다고 해봅시다. 두가지 경우로 나눠서 설명하겠습니다. 1. 모든 계수가 유리수인 경우 q는 0이 아닌 유리수이고, 삼차방정식이 이라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근 을 갖습니다. 왜그런지 증명해봅시다. 모든 계수가 유리수인 삼차방정식 중 를 근으로 갖는 경우를 살펴봅시다. 1) 세 근이 모두 형태 계수에 무리수가 생기므로 해당사항 없음 2) 두 근이 형태이고 한 근이 유리수 유리수인 근을 α라고 한다면, 아래와 같이 인수분해됩니다. 두 근은 이차식에서 구해진 근이므로, 서로 켤레근관계여야 합니다. 따라서 를 갖는다면 켤레근 를 갖습니다. 3) 한 근이 형태이고 두 근이 유리수 두 유리수 근을 α, β라고 한다면 아래와 같이 인수분해됩니다. 전개하면 계수에 무.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (36) 삼,사차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식의 근과 계수의 관계 아래와 같은 삼차방정식이 있습니다. 이 삼차방정식의 세 근을 라고 한다면 아래와 같이 인수분해 됩니다. 번거롭지만, 전개해서 첫번째 식과 비교해보겠습니다. 계수를 비교해서 정리하면 아래와 같습니다. 위 세가지 식이 삼차방정식의 근과 계수의 관계입니다. 외우면 금방 까먹으니까. 여러번 전개해 보시고, 전개 과정을 머리 속에 넣어두세요. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (35) 삼,사차방정식의 정의와 풀이 삼,사차 방정식의 정의와 풀이 삼차방정식은 차수가 3차인 방정식이구요. 4차방정식은 차수가 4차인 방정식입니다. x에 대한 방정식만 다루고 있으니까. 차수는 x의 차수를 의미합니다. 삼,사차방정식의 경우는 인수분해가 되지 않으면 해를 구할 수가 없습니다. 삼차방정식 근의 공식이 있긴 한데 고등학교 범위를 벗어나요. 따라서 인수분해가 되는 식들만 나오겠죠? 삼차식 인수분해 방법은 이미 배웠습니다. 조립제법을 이용하거나, 직관적 계수비교법을 통해 인수분해하시면 됩니다. 1) 삼차방정식의 풀이 간단한 예를 들어봅시다. 먼저 6의 약수인 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6을 대입해서 인수를 찾습니다. 1을 넣으면 0이죠? 따라서 (x-1)을 인수로 갖습니다. 인수분해를 합시다. 근은 1,-3,2 입니다. 사차식.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (11) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값2개) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값2개) 오늘은 절댓값 기호가 2개 있는 일차방정식에 대해 공부해봅시다. 아래 그림을 통해 풀이 방법을 설명드릴게요. 먼저 절댓값을 0 으로 만드는 x값을 찾습니다. 위 예시에서는 a와 b입니다. 크기 순서대로 수직선에 나타내면 총 세개의 영역(빨강, 파랑, 초록)이 생깁니다. 이 세개의 영역에서 각각 따로 x 값을 구해주어야 합니다. 절댓값이 벗겨지는 부호가 각자 다르기 때문입니다. 이제 각각의 영역에서 x값을 구하고, 구한 x값이 해당 영역에 속하는지 확인한 뒤 최종 해를 선정해주면 됩니다. 방법은 아시겠죠? 이제 숫자를 넣은 예시를 풀어봅시다. 위 그림처럼 각각 범위에서 x 값을 구하고 나면, 구해진 x 값이 해당 범위에 속해 있는지 확인합니다. 최종적으로 살아남은.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (10) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값1개) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값1개) 오늘은 절댓값 기호가 1개 있는 일차방정식에 대해 공부해봅시다. 먼저 절댓값의 성질을 알아볼게요. 절대값의 성질은 아래와 같습니다. 이 절댓값 안에 일차식이 들어있는 방정식을 배울거에요. . 아래와 같은 경우입니다. 이번 글에서는 절댓값 기호가 하나만 있는 방정식을 배우도록 할게요. 다음 글에서 절댓값 기호가 두 개 있는 식을 배우도록 합시다. 가장 먼저 할 일은 범위를 나누는 것입니다. 절댓값을 없애야 방정식을 풀 수 있기 때문입니다. 범위는 절댓값 안에 있는 다항식이 0이 되는 값을 기준으로 나뉩니다. 아래처럼 나눠져요. 등호는 어디에 들어가도 상관없습니다. x>-3 에 넣어도 되고 x 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (9) 일차방정식의 정의와 풀이 일차방정식의 정의와 풀이 먼저 방정식이 무엇인지 알아볼게요. 방정식의 정의는 아래와 같습니다. “미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식” 미지수가 있고, 등식으로 표현되어 있으면 방정식이군요. 아래와 같은 형태들이 방정식이 될 수 있습니다. 이번 모듈에서는 ‘일차’ 방정식을 배울 거에요. 미지수의 차수가 1차인 방정식을 일차방정식이라고 부릅니다. 1차부터 배우는 이유는 쉬워서겠죠? 일차 방정식도 미지수의 개수에 따라 여러 종류가 있습니다. 미지수 한 개를 갖는 방정식부터 세 개를 갖는 방정식까지 적어보았어요. 오늘은 위 방정식들 중 미지수가 x 하나인 일차방정식에 대해서만 공부할거에요. x하나를 미지수로 갖는 일차방정식은 ‘x에 대한 일차방정식’ 또는 ‘일차방정식’ 이라고 부릅니다.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (8) 음수의 제곱근의 성질 음수의 제곱근의 성질 와 의 곱이나 나누기를 할 때, a와 b의 부호에 따라 결과가 달라집니다. 지금까지 다룬 경우는 둘다 양수인 경우였습니다. 아래 등식이 성립하구요. 우리는 허수를 배웠기 때문에 a와 b가 음수가 될 수도 있습니다. 이 때 위 등식이 성립하지 않는 예외가 발생하게 되는데요. 예외 상황만 살펴봅시다. 1. a와 b가 모두 음수인 경우의 곱셈 a,b가 둘다 음수인 경우, 곱셈을 통해 하나의 근호로 나타내면 부호가 바뀌게 됩니다. 2. 분모 근호 안이 음수이고 분자 근호 안은 양수인 경우의 나눗셈 분모 근호 안이 음수이고 분자 근호 안은 양수인 경우, 나눗셈을 통해 하나의 근호로 나타내면 부호가 바뀌게 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (7) i의 거듭제곱 i의 거듭제곱 i를 거듭제곱 해봅시다. i, -1, -i, 1 이 반복되는 구조입니다. 따라서 아래와 같은 규칙이 성립합니다.(n은 자연수) 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (6) 복소수가 서로 같을 조건 복소수가 서로 같을 조건 아래 두 복소수가 서로 같으려면 어떤 조건이 성립해야 할까요. 실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 같으면 됩니다. 우변을 0인 경우는 어떤 조건이 성립할까요. 둘다 0이면 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (5) 켤레복소수의 성질 켤레복소수의 성질 켤레복소수를 정의하고 보니 몇가지 성질이 만들어졌습니다. 여섯가지 성질인데요. 유도과정을 함께 적어놓았습니다. 1. 켤레복소수의 켤레복소수는 자기자신이다. 2. 어떤 복소수와 그 켤레복소수의 합은 실수이다. 3. 어떤 복소수와 그 켤레복소수의 곱은 실수이다. 4. 두 복소수의 합(또는 차)의 켤레복소수는 두 복소수의 켤레복소수의 합(또는 차)과 같다. 5. 두 복소수의 곱의 켤레복소수는 두 복소수의 켤레복소수의 곱이다. 6. 두 복소수가 있을 때, 한 복소수로 다른 복소수를 나눈 값의 켤레복소수는 한 복소수의 켤레복소수를 다른 복소수의 켤레복소수로 나눈 값과 같다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (4) 복소수의 교환, 결합, 분배법칙 복소수의 교환, 결합, 분배법칙 실수에서와 같이 복소수에서도 덧셈과 곱셈에 대해 아래 법칙들이 성립합니다. 1. 복소수 덧셈의 교환법칙 두 복소수 a+bi 와 c+di에서 아래 등식이 성립합니다. 따라서, 교환법칙이 성립합니다. 증명은 어렵지 않기 떄문에 앞으로는 생략하겠습니다. 2. 복소수 곱셈의 교환법칙 두 복소수 a+bi 와 c+di 에 대해서 아래와 같이 곱셈의 교환법칙이 성립합니다. 3. 복소수 덧셈의 결합법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni 에 대해서 아래와 같이 덧셈의 결합법칙이 성립합니다. 4. 복소수 곱셈의 결합법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni 에 대해서 아래와 같이 곱셈의 결합법칙이 성립합니다. 5. 복소수 곱셈의 분배법칙 세 복소수 a+bi, c+di, m+ni .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (3) 복소수의 연산 복소수의 연산 복소수의 사칙연산을 배워봅시다. 1. 복소수의 덧셈과 뺄셈 실수는 실수끼리, 복소수는 복소수끼리 계산합니다. 2. 복소수의 곱셈 분배법칙으로 전개하고, 을 이용해서 계산해줍니다. 3. 복소수의 나눗셈 분모의 켤레복수를 분자와 분모에 곱하여 계산합니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (2) 켤레복소수 켤레복소수 복소수 a+bi 에서 허수부분의 부호가 반대인 복소수를 켤레복소수라고 합니다. a+bi의 켤레복소수는 a-bi 이고, 반대로 a-bi의 켤레복소수도 a+bi 입니다. 순허수도 마찬가지입니다. bi의 켤레복소수는 -bi 이고, -bi의 켤레복소수는 bi 입니다. 켤레복소수를 나타내는 기호를 하나 정의했습니다. 복소수 위에 선을 하나 긋는 것입니다. 의 켤레복소수를 로 나타냅니다. 계산하면 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (1) *허수와 복소수 *허수와 복소수 1. 허수 허수는 영어로 imaginary number입니다. 상상속에 등장하는 수라는 뜻입니다. 이런 상상에서 출발합니다. '제곱해서 음수가 되는 수가 있을까' 이 상상을 방정식으로 표현할 수 있습니다. 억지로 근을 구해보았습니다. 여기서 등장하는 을 허수의 기본단위로 정했습니다. i라고 이름붙였어요. 이번에는 다른 수로 해봅시다. 우변에 있는 수를 아래와 같이 정의하기로 합니다. 허수들을 i로 표현하기 위함입니다. 아래와 같이 허수와 실수를 더한 수도 허수입니다. 2. 복소수 허수의 등장으로 수의 체계가 확장되게 됩니다. 실수까지만 있었던 수체계에서 허수를 포함한 더 큰 범위의 수가 필요해진 것이죠. 허수와 실수를 포함한 수를 '복소수'라고 이름붙였습니다. 영어로는 'complex n.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (19) 고차식의 인수분해 고차식의 인수분해 아래와 같이 문자가 한 종류인 3차 이상의 다항식을 인수분해하려고 합니다. 인수분해 기본공식과 심화유형으로는 풀리지 않습니다. 이런 경우에 사용할 수 있는 방법이 있습니다. '인수정리'를 이용해서 인수를 예측하는 것입니다. 미래로 가서 인수분해를 끝마친 상황을 봅시다 . 우변의 인수를 0으로 만드는 값은 -2 , 1 , 3 입니다. 이 값은 좌변 상수항 6의 약수라는 것을 알 수 있습니다. 이 개념을 일반화 하면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 다항식 을 만족시키는 a가 존재하는 조건은 아래와 같습니다. a=±(상수항의 양의 약수)/(최고차항의 계수의 양의 약수) 한가지 예시를 더 봅시다. 최고차항 계수가 1이 아닌 경우입니다. 인수를 0을 만들 가능성이 있는 후보를 뽑으면 아래.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (18) 인수분해 심화유형 인수분해 심화유형 인수분해 심화유형은 기본공식으로는 인수분해가 되지 않는 네가지 유형입니다. 1. 치환 치환하면 기본공식으로 인수분해가 되는 유형입니다. 아래 예시를 보면 이해되실겁니다. 치환할 부분이 눈에 보이시죠? 아래와 같이 치환합니다. 전개한 뒤 인수분해합니다. 치환한 부분을 원래대로 돌려놓으면 인수분해 완료입니다. 2. 치환(복이차식) 사차식, 이차식, 상수항으로 되어있는 다항입니다. 일차식, 삼차식이 없어요. 아래와 같이 치환합니다. 인수분해 기본공식이 적용됩니다. 인수분해하면 됩니다. 3. 내림차순 정리 한 문자에 대해 내림차순으로 정리하면 기본공식으로 인수분해되는 경우입니다. 아래 예시를 봅시다. x에 대해 내림차순으로 정리합시다. 기본공식을 이용하여 인수분해합니다. 4. 계수가 대칭인 4.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (17) 인수분해 기본공식 인수분해 기본공식 인수분해 기본공식을 배워봅시다. 13개의 공식이 있습니다. 전개해서 비교해보시고, 꼭 '체득'하셔야 합니다. 자유자재로 사용할 수 있도록요. 1. 난이도 easy 2. 난이도 normal 3. 난이도 hard 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (16) 다항식의 인수분해란? 다항식의 인수분해란? 인수분해의 '인수'는 '곱해진 수'라는 뜻입니다. 하나의 다항식을 여러 다항식의 곱으로 표현하는 것을 인수분해라고 합니다. 쉽게 이야기하면 '전개의 반대과정' 입니다. 아래는 전개의 예시입니다. 좌변과 우변을 바꿔 쓰면 인수분해가 됩니다. 자연스럽지는 않죠? 인간의 머리로 당연하게 받아들여지는 과정은 아닙니다. 전개는 직관적인 과정인데 인수분해는 그렇지 않죠. 전개를 먼저 떠올리고 그 반대과정을 생각해야 합니다. 결국은 이해를 기반으로 외워야 한다는 것이죠. 다행히 쓸모 없는 녀석은 아닙니다. 인수분해는 여러가지 계산과정에서 반드시 필요한 도구입니다. 대표적으로 방정식의 해를 구할 때 사용됩니다. 다음시간에는 인수분해 공식들을 살펴봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (15) 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 조립제법 원리 + 더 편한 방법 소개 지난시간에는 조립제법의 사용법을 배웠습니다. 오늘은 원리를 이해해봅시다. 먼저 조립제법 보다 더 직관적이고 편한 방법을 소개하구요. 이 방법을 이용해서 조립제법 원리를 설명할 것입니다. 아래 나눗셈을가지고 설명할게요. 위 나눗셈을 아래와 같이 항등식으로 바꿀 수 있습니다. 몫과 나머지를 구해야하는 상황인데요. 아래와 같이 일단 괄호를 열어줍니다. 괄호 안에 어떤 식이 와야할까요? 최고차항이 동일해야하니까. 2x가 먼저 등장해야 합니다. 현재 우변의 1차항이 2x 인데요. 좌변에는 3x가 있습니다. x가 더 필요하죠. 따라서 아래와 같이 됩니다. 우변의 상수항은 1이죠. 좌변은 -1이니까. R은 -2가 되어야 합니다. 이 원리를 이용하여 만든 방법이 조립제법입니다. 이.. 2018. 10. 8.
[수학 상] (1-14) 조립제법 사용방법 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (14) 조립제법 사용방법 다항식의 나눗셈을 간편하게 할 수는 없을까 라는 의문을 가진 누군가가 더 간편한 방법을 찾아냈습니다. 그 방법이 조립제법입니다. 한가지 예시를 이용하여 조립제법을 사용하는 방법을 설명하겠습니다. 아래 나눗셈을 봅시다. 이 나눗셈을 조립제법을 이용하여 해봅시다. 단계 별로 설명하겠습니다. 일정한 규칙이 반복되는 것이라 금방 익숙해질 것입니다. 먼저 아래와 같이 ㄴ 자 모양을 그려줍니다. 왼쪽에는 나누는 식인 x-2 를 0으로 만드는 값을 적습니다. 오른쪽에는 계수를 적어줍니다. 최고차항의 계수인 2를 아래와 같이 아래쪽으로 내려줍니다. 2를 곱하고 0 아래에 써줍니다. 0과 4를 더해줍니다. 2와 4를 곱해서 -3 아래에 써줍니다. 이제 뭘 해.. 2018. 10. 8.
[수학 상] (1-13) 나머지정리와 인수정리 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (13) 나머지정리와 인수정리 나머지정리 나머지 정리는 다항식의 나눗셈을 할 때 나머지를 쉽게 구하는 방법입니다. 다항식 $f(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$ 이라고 한다면 아래와 같은 항등식으로 표현할 수 있습니다. $f(x)=(x-a)Q(x)+R$ 나머지는 $R(x)$가 아니라 $R$ 입니다. 나머지는 상수라는 말입니다. 일차식 $(x-a)$으로 나눴기 때문에 나머지는 0차식인 상수가 됩니다. 만약 나머지가 1차식으로 나왔다면 $(x-a)$로 한번 더 나눌 수 있고 결국 일차식이 됩니다. 위 항등식의 $x$자리에 $a$를 넣어봅시다. 우변의 첫 항은 0이 되어 사라지고 아래 식이 남게됩니다. $f(a)=R$ 나머지를 구했습니다.. 2018. 10. 8.
[수학 상] (1-12) 다항식의 나눗셈과 항등식 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (12) 다항식의 나눗셈과 항등식 지난 글에서 예를 들었던 나눗셈은 아래와 같습니다. 위 나눗셈은 아래와 같은 형태의 등식으로 표현할 수 있습니다. $2x^2+3x+6=(x-1)(2x+1)+8$ 위 식은 항등식입니다. 다항식의 나눗셈은 항등식으로 표현할 수 있습니다. 지난시간에 갑자기 항등식이 등장한 이유입니다. 위 상황을 일반화시켜봅시다. 나눠지는 다항식을 $f(x)$, 나누는 다항식을 $g(x)$, 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라고 놓는다면 아래와 같이 일반화할 수 있습니다. $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$ 2018. 10. 8.
[수학 상] (1-11) 항등식의 정의와 성질 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (11) 항등식의 정의와 성질 항등식의 정의 항등식이 무엇인지 알아봅시다. 그 전에 등식이 무엇인지 알아야됩니다. 등식은 등호가 있는 식입니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $x+1=3$ $x^2-y^2=1$ 위 식은 방정식이기도 합니다. 방정식은 '미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식'입니다. 항등식도 등식의 일종이지만 방정식과는 다릅니다. 항등식은 '미지수에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식'입니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $(x+3)^2=x^2+6x+9$ x에 아무 숫자나 넣어보시면 항상 등호가 성립한다는 것을 알 수 있습니다. 방정식과 항등식의 정의를 다시 정리해보면 아래와 같습니다. 방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 .. 2018. 10. 8.
[수학 상] (1-10) 다항식의 나눗셈 [모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (10) 다항식의 나눗셈 다항식의 나눗셈은 아래와 같이 두가지로 나뉩니다. - 다항식을 단항식으로 나눔 - 다항식을 다항식으로 나눔 1. 다항식을 단항식을 나눔 A,B,C 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 는 다항식이 됩니다. 다항식 A+B 를 단항식 C로 나누는 방법은 아래와 같습니다. $(A+B)\div C=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$ 단항식을 단항식으로 나누면 나머지는 항상 상수입니다. 2. 다항식을 다항식으로 나눔 A,B,C,D 를 각각 어떤 단항식이라고 가정합시다. 따라서 A+B 와 C+D는 다항식입니다. 다항식 A+B를 다항식 C+D로 나누는 방법은 아래와 같습니다. $(A+B)\div (C+D)=\frac{A+B}{C+D.. 2018. 10. 8.
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