[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (19) 고차식의 인수분해

고차식의 인수분해

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아래와 같이 문자가 한 종류인 3차 이상의 다항식을 인수분해하려고 합니다. 

인수분해 기본공식과 심화유형으로는 풀리지 않습니다. 이런 경우에 사용할 수 있는 방법이 있습니다. '인수정리'를 이용해서 인수를 예측하는 것입니다. 

미래로 가서 인수분해를 끝마친 상황을 봅시다 . 

우변의 인수를 0으로 만드는 값은 -2 , 1 , 3 입니다. 이 값은 좌변 상수항 6의 약수라는 것을 알 수 있습니다. 

이 개념을 일반화 하면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 

다항식 을 만족시키는 a가 존재하는 조건은 아래와 같습니다. 

a=±(상수항의 양의 약수)/(최고차항의 계수의 양의 약수)

한가지 예시를 더 봅시다. 최고차항 계수가 1이 아닌 경우입니다. 

인수를 0을 만들 가능성이 있는 후보를 뽑으면 아래와 같습니다. 

먼저 1을 넣어봅시다. f(1)=12가 나옵니다. 탈락.

이번에는 -1을 넣어봅시다. f(-1)=0 이 나옵니다. 합격.

 f(x)가 (x+1) 을 인수로 가지고 있다는 뜻입니다. 

이제 f(x) 를 (x+1)로 나눠서 몫을 구하면 됩니다. 조립제법을 이용해도 되는데 저는 계수비교 방법을 선호합니다. 

최고차항 계수가 3이니까. 물음표 자리는 으로 시작할 것입니다. 

우변을 전개해보면 항이 생겼는데 좌변의 제곱항은 입니다. 따라서 를 더해주어야 합니다. 

같은 방법으로 상수항을 찾으면 -2입니다. 

기본공식을 사용해서 한번 더 인수분해 하면 완료입니다. 

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