[수학 상] (1-11) 항등식의 정의와 성질

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (11) 항등식의 정의와 성질

항등식이 무엇인지 알아봅시다. 그 전에 등식이 무엇인지 알아야됩니다. 등식은 등호가 있는 식입니다. 예를 들면 아래와 같습니다.

$x+1=3$

$x^2-y^2=1$

위 식은 방정식이기도 합니다. 방정식은 '미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식'입니다.

항등식도 등식의 일종이지만 방정식과는 다릅니다. 항등식은 '미지수에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식'입니다. 예를 들면 아래와 같습니다.

$(x+3)^2=x^2+6x+9$

x에 아무 숫자나 넣어보시면 항상 등호가 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

방정식과 항등식의 정의를 다시 정리해보면 아래와 같습니다.

방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식

항등식 : 미지수에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식

항등식의 성질을 알아봅시다. 아래와 같은 등식이 하나 있습니다.

$ax+b=0$

만약 위 식이 항등식이 되려면 어떤 조건이 성립해야 할까요. x에 어떤 수를 넣어도 항상 0이 되려면 a와 b가 0이어야 합니다.

이번에는 아래와 같은 등식이 있다고 합시다.

$ax+b=a'x+b'$

만약 위 식이 항등식이 되려면 어떤 조건이 성립해야 할까요. x에 어떤 수를 넣어도 항상 등식이 성립하려면 a가 a'과 같고 b가 b'과 같아야 합니다.

지난시간에 다항식의 나눗셈을 배웠습니다. 뜬금 없이 항등식이 나온 이유가 뭘까요. 다항식의 나눗셈에 항등식이 사용되기 때문입니다. 어떻게 사용되는지는 다음시간에 알아봅시다.