[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (23) 역함수의 성질 (함수 2개 이상)

[수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(23) 역함수의 성질 (함수 2개)]

 

역함수의 성질 (함수2개 이상)

역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 

 

1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다.

2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 

3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 

4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 

 

이번 글에서는 3,4번을 증명해봅시다. 3번은 두개의 함수, 4번은 두개 이상의 함수를 다루는 경우입니다. 

 

 

3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 

 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$$
g\circ f=I  \Leftrightarrow g=f^{-1}
$$

 

합성한 결과가 항등함수라는 것은 아래와 같은 경우를 말합니다. 

 

 

f의 역함수를 빨간색으로 표시해봅시다. 

 

 

f의 역함수 $f^{-1}$ 과 함수 g가 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 

 

두 함수가 서로 역함수 관계인 경우도 위와 같이 나타낼 수 있으므로, 합성함수가 항등함수가 됩니다.  

 

 

4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 

 

수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$$
\left ( g\circ f \right )^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
$$

 

$$
\left (h\circ g\circ f \right )^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\circ h^{-1}
$$

 

첫번째 부터 이해해봅시다. 아래 그림에서 빨간색 화살표는 $\left ( g\circ f \right )^{-1}$ 을 나타낸 것이고, 파란색 화살표는 $f^{-1}\circ g^{-1}$ 을 나타낸 것입니다. 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 

 

두번째 식의 경우도 같은 이유로 성립합니다. 아래 그림과 같습니다.