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확률과 통계65

[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (3)확률분포 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(3)확률분포] 확률분포 확률변수 X가 있다고 해봅시다. X는 확률변수이고 변수의 개수는 n개입니다. 변수는 아래와 같습니다. 이 확률 변수에 대응되는 확률은 아래와 같습니다. 이러한 대응 관계를 확률변수 X의 확률분포라고 합니다. 표와 그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 2019. 9. 15.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (2)이산확률변수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(2)이산확률변수] 이산확률변수 확률변수는 두가지가 있습니다. - 이산확률변수- 연속확률변수 오늘은 이산확률변수에 대해 공부해봅시다. 이산의 뜻을 먼저 풀이해봅시다. 떠날(리)흩어질(산) 서로 떨어져서 흩어져 있는 변수라는 듯입니다. 다른 말로 하면 "셀 수 있는 변수" 입니다. 이산확률변수 : 확률변수 X가 가질 수 있는 값이 셀 수 있는 경우의 확률변수. 개수는 유한개이거나 무한개이거나 상관 없음. 자연수의 경우는 그 수가 무한개이지만 셀 수 있기 때문에 이산확률변수임. 주사위를 한번 던져서 나오는 수가 X라면, 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1,2,3,4,5,6 입니다. 셀 수 있기 때문에 이산확률변수입니다. 변수 X가 0과 1 사이의 실수라고 해봅시다.. 2019. 9. 15.
[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (1)확률변수 [확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(1)확률변수] 확률변수 각 변수에 대응되는 확률을 갖는 변수를 '확률변수'라고 합니다. 이때 변수들은 어떤 시행에서 표본 공간의 원소입니다. 쉽게 말하면, 어떤 시행을 할 때 발생하는 사건들이 변수인 것입니다. 변수가 곧 확률이라는 말이 아닙니다. 변수도 값을 갖고, 그 값에 해당하는 확률도 갖습니다. 예를 들어 동전을 세번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수라고 한다면, 이 확률변수는 0,1,2,3 세가지 값을 가질 수 있습니다. 확률 변수는 X로 나타냅니다. X={0,1,2,3} 각각의 확률은 아래와 같습니다. X가 0일 때의 확률 = 1/8X가 1일 때의 확률 = 3/8X가 2일 때의 확률 = 3/8X가 3일 때의 확률 =1/8 기호로는 아래와 같이 .. 2019. 9. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (19)독립시행의 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(19)독립시행의 확률] 독립시행의 확률 어떤 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, 이 시행을 n번 반복한다고 해봅시다. 이때, 사건 A가 발생하는 횟수가 r일 확률은 아래와 같습니다. 예시를 통해 이해해봅시다. 어떤 농구선수의 자유투 성공률이 0.7(70%)라고 합시다. 공을 4번 던질 때, 자유투를 2번 성공할 확률을 구해봅시다. 성공을 O, 실패를 X라고 한다면 아래와 같은 경우가 있습니다. OOXXOXOXOXXOXOOXXOXOXXOO 위 여섯가지 경우는 4개 중 2개를 선택하는 경우와 같습니다. 총 4번의 시행 중, 사건의 발생 횟수인 2개를 선택하는 것과 같습니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다. 2019. 9. 8.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (18)독립시행 무엇인가 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(18)독립시행 무엇인가] 독립시행 무엇인가 독립시행은 동일한 시행을 반복할 때, 각 시행들이 서로 독립인 시행을 말합니다. 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는다는 것입니다. 영향을 주지 않는다는 것을 확률적으로 이해해봅시다. 사건 A가 있고 발생할 확률이 p라고 해봅시다. n번의 시행을 하는 동안 각 시행에서 A가 발생할 확률이 p가 되는 것이 독립시행입니다. 예를들면 동전던지기가 있습니다. 동전을 한번 던질 때 앞면이 나올 확률이 0.5라는 것은, 이전의 시행에서 어떤 면이 나왔는지에 영향을 받지 않습니다. 매번 던질 때마다 0.5라는 확률로 발생합니다. 2019. 9. 4.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (17)독립사건의 직관적 이해 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(17)독립사건의 직관적 이해] 독립사건의 직관적 이해 두 사건 A,B가 서로 독립이라는 것은 아래 등식이 성립할 때를 말합니다. 한가지 예시를 통해 이 개념을 직관적으로 이해해봅시다. 임의로 뽑은 500명을 대상으로 성별과 종교를 조사했습니다. 조사 결과는 아래와 같았습니다. - 남자 200명, 여자 300명- 무교 50명, 종교인 200명- 남자 200명 중 무교 20명- 여자 300명 중 무교 30명 표로 정리하면 아래와 같습니다. 벤다이어그램으로도 그려봅시다. 데이터를 먼저 설명하겠습니다. 남자 집단에서 종교가 있는 사람과 무교의 비율이 9:1 입니다. 여자 집단에서 종교가 있는 사람과 무교의 비율이 9:1 입니다.전체 집단에서 종교가 있는 사람과 무교.. 2019. 9. 3.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (15)독립과 여사건 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(15)독립과 여사건] 독립과 여사건 두 사건 A,B가 서로 독립이라고 가정해봅시다. 아래 관계들은 어떨까요? 서로 독립일까요 아닐까요? 결론부터 말씀드리면 위 모든 관계가 서로 독립입니다. 우리에게 중요한 것은 '이유'입니다. 하나씩 증명해봅시다 . 아래 등식에서 출발합니다. 우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. P(A)로 묶어줍니다. 1에서 P(A)를 뺀 것은 A의 여사건의 확률과 같습니다. 따라서 두 사건은 독립입니다. 아래 등식에서 출발합니다. 우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. P(B)로 묶어줍니다. 1에서 P(A)를 .. 2019. 9. 2.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (14)두 사건이 서로 독립일 조건 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(14)두 사건이 서로 독립일 조건] 두 사건이 서로 독립일 조건 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 독립이라면 아래 등식이 성립했었습니다. 여집합 식은 빼고 써봅시다. 좌변의 조건부확률을 풀어서 써봅시다. 양변에 P(B)를 곱해줍시다. 위 식이 두 사건이 서로 독립일 조건입니다. 두 사건의 교집합의 확률이 두 사건의 확률 각각을 곱한 결과와 같을 때, 두 사건은 독립이 됩니다. 사건 B 입장에서 유도해도 동일한 결과가 나옵니다. 2019. 9. 1.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (13)사건의 종속 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(13)사건의 종속] 사건의 종속 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 종속이라는 것은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 준다는 것입니다. 독립의 반대라고 생각하시면 됩니다. 아래 조건이 만족할 때가 종속입니다. A가 발생할 확률 ≠ 사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률 ≠ 사건 B가 발생하지 않았을 때, 사건 A가 발생할 확률 조건부확률식으로 표현하면 아래와 같습니다. 사건 B에 대해서 표현하면 아래와 같습니다. 2019. 9. 1.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (12)사건의 독립 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(12)사건의 독립] 사건의 독립 두 사건 A,B가 있습니다. 두 사건이 독립이라는 것은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주지 않는다는 것입니다. 사건이 서로 영향을 주지 않는다는 것을 확률로 설명합니다. 아래 조건이 만족할 때가 독립입니다. A가 발생할 확률 = 사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률 = 사건 B가 발생하지 않았을 때, 사건 A가 발생할 확률 조건부확률식으로 표현하면 아래와 같습니다. 사건 B에 대해서 표현하면 아래와 같습니다. 2019. 9. 1.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (11)확률의 곱셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(11)확률의 곱셈정리] 확률의 곱셈정리 지난 강의에서 배운 조건부확률을 떠올려봅시다. 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률은 아래와 같았습니다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 이번에는 사건 B가 일어났을 때, 사건 A가 일어날 확률을 써봅시다. 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 변형된 식들을 모아봅시다. 아래 식이 확률의 곱셈정리입니다. 확률의 덧셈정리는 합집합의 확률을 합(+)으로 표현한 것이었습니다. 확률의 곱셈정리는 교집합의 확률을 곱(X)으로 표현한 것입니다. 2019. 8. 30.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (10)조건부확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①조건부확률]-[(10)조건부확률] 조건부확률 표본공간 S가 있다고 합시다. 이 표본공간에 두개의 사건이 있습니다. A와 B라고 놓겠습니다. 이런 확률을 생각해볼 수 있습니다. "사건 A가 일어났을 때, B가 일어날 확률" 이 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라고 부릅니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. 이 등식을 먼저 이해해야 합니다. 어떤 사건이 발생할 확률은 그 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것입니다. 위의 상황은 사건 A가 이미 발생한 상황이므로, 전체 경우의 수가 A의 경우의 수가 됩니다. A가 발생한 상황에서 B가 발생할 경우의 수는 A라는 전체 사건 안에서 B가 발생하는 것이므로 A안에서 B에 해.. 2019. 8. 21.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (9)여사건의 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(9)여사건의 확률] 여사건의 확률 확률의 덧셈정리를 A와 A의 여집합에 적용하면 아래와 같습니다. A와 A의 여집합의 교집합은 공집합이므로 아래 등식이 성립합니다. A와 A의 여집합의 합집합은 전체집합이므로, 확률은 1입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 이항해서 정리하면 아래와 같습니다. 아래 등식이 여사건의 확률입니다. 2019. 8. 14.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (8)확률의 덧셈정리 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(8)확률의 덧셈정리] 확률의 덧셈정리 두 사건이 있습니다. A와 B라고 놓겠습니다. 두 사건의 원소 개수에 대해서 아래 등식이 성립합니다. 양면을 표본공간의 원소 수로 나눕시다. 표본공간은 전사건입니다. 발생할 수 있는 모든 사건의 경우의수 입니다. 따라서 각 항들은 확률이 됩니다. 위 식이 '확률의 덧셈정리'입니다. 만약 사건 A와 B가 배반사건이라면 교집합이 없기 때문에 아래 등식이 됩니다. 2019. 8. 13.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (7)확률의 기본 성질 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(7)확률의 기본 성질] 확률의 기본 성질 표본공간 S가 있다고 해봅시다. 표본공간은 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이었습니다. 예를들어 주사위를 던지는 시행이 있다고 해봅시다. 이 시행에서 표본공간은 {1,2,3,4,5,6}입니다. 표본공간 S에 임의의 사건 A가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 또 공집합은 모든집합의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. Ø⊂A⊂S 이때 성립하는 세가지 성질이 있습니다. 1) 임의의 사건 A에서, 0≤P(A)≤1 이다. 2) S가 반드시 일어나는 전사건이므로, P(S)=1 이다. 3) Ø가 절대 일어나지 않는 공사건 이므로, P(Ø)=1 이다. 2019. 8. 13.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (6)확률의 종류 - 통계적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(6)확률의 종류 - 통계적 확률] 확률의 종류 - 통계적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이전 글에서 수학적확률에 대해 배웠습니다. 수학적 확률은 시행을 하지 않고도 구할 수 있는 확률이었습니다. '주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률'과 같은 확률입니다. 이번 글에서 다룰 '통계적 확률'은 그렇지 않습니다. 시행을 통해 실제로 알아가는 확률입니다. 따라서 시행 횟수에 따라 그 값이 변합니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 300번 던졌습니다. 나온 짝수의 눈을 세보니 20회였습니다. 이때 확률을 구하면 1/15가 됩니다. 주사위를 던지는 횟수를 무한대로 보내면 실제로 구하는 확률은 어떤 값에 가까워져갈 것입니.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (5)확률의 종류 - 수학적 확률 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(5)확률의 종류 - 수학적 확률] 확률의 종류 - 수학적 확률 확률은 크게 두 가지로 나뉩니다. 수학적 확률과 통계적 확률입니다. 이번 글에서는 수학적확률을 설명드리겠습니다. 수학적 확률은 이름에서도 알 수 있듯, 시행을 실제로 해보지 않아도 '수학적으로' 계산이 가능한 확률입니다. 수학적 계산이 가능하다는 것은 시행여부에 따라 변하는 것이 아니라 절대적인 값을 갖는다고 이해할 수 있습니다. 표본공간 S가 있고, 표본공간 S의 부분집합 사건 A가 있다고 해봅시다. A가 일어날 확률 P(A)는 아래와 같이 정의됩니다. n(S)는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의수입니다. n(A)는 사건 A가 일어나는 경우의 수입니다. 이 확률이 수학적확률입니다. 예.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (4)확률이란? [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(4)확률이란?] 확률이란? 어떤 시행의 표본공간을 S라고 하고, 표본공간의 부분집합인 한 사건을 A라고 합시다. 이 사건 A가 발생할 가능성이 사건 A의 확률입니다. 어떤 사건이 발생할 가능성 = 어떤 사건의 확률 사건A의 확률을 기호로 아래와 같이 나타냅니다. P(A) P는 Probability 첫글자 입니다. 괄호는 of 정도로 해석할 수 있습니다. P(A) = Probability of A 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (3)배반사건과 여사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(3)배반사건과 여사건] 배반사건과 여사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 배반사건은 어떤 사건들이 서로 교집합이 없는 것을 의미합니다. 만약 사건 A와 B가 서로 배반사건이라면 아래 등식이 성립합니다. 반대로 위 등식이 성립하면, 두 사건은 서로 배반사건입니다. 어떤 사건의 여사건은 그 사건이 일어나지 않은 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 여집합입니다. A의 여사건은 아래와 같습니다. 어떤 사건과 그 사건의 여사건은 .. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (2)합사건과 곱사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(2)합사건과 곱사건] 합사건과 곱사건 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 표본은 sample, 공간은 space 라서 표본공간은 sample space입니다. 앞글자를 따서 S라고 이름붙였습니다. 이 시행의 사건 A와 B가 있습니다. 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 합사건을 정의해봅시다. 합사건은 A 또는 B가 일어나는 사건을 말합니다. 집합으로 표현하면 합집합입니다. 합사건 = A 또는 B가 일어나는 사건 = 이번에는 곱사건을 정의해봅시다. 곱사건은 A 그리고 B가 일어나는 사건입니다. 다른 말로 하면 A와 B가 동시에 일어나는 사건입니다. 집합으로 표현하면 교집합입니다. 곱사건 = A 그리고 B가 일어나는 사건 = 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (1)시행과 사건 [확률과통계]-[2.확률]-[①확률의 뜻과 활용]-[(1)시행과 사건] 시행과 사건 주사위를 던졌습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다. 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 시행 : 주사위를 던졌습니다. 표본공간 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}의 눈이 나올 수 있습니다. 전사건 : 주사위를 던지면 {1,2,3,4,5,6}중 하나는 반드시 나온다는 말입니다. 공사건 : 주사위를 던져서 7이 나올 수는 없습니다.사건 : 주사위를 던졌더니 3이 나왔습니다. 근원사건 : {1} {2} {3} {4} {5} {6} 일반화시켜봅시다. 시행 : 어떤 .. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (14)이항계수의 성질 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(14)이항계수의 성질] 이항계수의 성질 이항정리는 아래와 같습니다. 위 식의 계수가 '이항계수'였는데요. 이항계수를 이용해서 만들 수 있는 몇가지 성질을 알아봅시다. a대신 x를 b대신 1을 대입하면 아래와 같습니다. 1의 거듭제곱은 1이므로 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 1) x에 1을 대입해봅시다. 좌우를 바꿔씁시다. 2) x에 -1을 대입해봅시다. 3) 1번식과 2번식을 더해봅시다. n이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나눌 수 있습니다. n이 짝수라면 2번식의 마지막항이 양수이고, 홀수면 음수가 되기 때문입니다. 먼저 n이 짝수인 경우입니다. 따라서 아래 결과를 얻습니다. 이번에는 n이 홀수인 경우입니다. 따라서 아래 결과를 얻습니다. 4) 이번에는 .. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (13)파스칼의 삼각형 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(13)파스칼의 삼각형] 파스칼의 삼각형 지난 강의에서 유도한 이항계수는 아래와 같습니다. 이항계수들을 아래와 같이 나열해 봅시다. 위에 보시는 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 합니다. 파스칼의 삼각형의 몇가지 특징을 살펴봅시다. 1) 먼저 각 줄은 n에 1부터 하나씩 늘려간 이항계수들입니다. 2) 파스칼의 삼각형에서 연속한 두 항을 더하면, 그 두항의 가운데 아랫항과 같습니다. 일반화 시키면 아래 등식입니다. 위 성질은 조합을 공부할 때도 나왔던 내용입니다. 3) 파스칼의 삼각형에서 각 행의 수를 더하면 2의 제곱수가 됩니다. 1번성질을 이용하면 됩니다. 이항계수의 합은 a와 b에 1을 넣으면 구해지는 값입니다. 따라서 2의 제곱수가 됩니다. 4) 하키스틱.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (12)이항정리와 이항계수 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(12)이항정리와 이항계수] 이항정리와 이항계수 아래와 같은 n제곱식이 있습니다. 괄호 안에 항이 몇개죠? 2개입니다. 이항(2항,binomial)입니다. 그래서 이항정리에요. 위와 같이 이항식의 n제곱을 전개해서, 계수들을 조합으로 표현하는게 '이항정리'입니다. 자 그럼 전개를 해봅시다. 전개한 결과를 생각해봅시다. a의 입장에서 생각해보면, a가 0차인 항 부터 a가 n차인 항 까지 생길 것입니다. a가 0차인 항을 생각해보면 아래와 같이 전개할 때 모든 괄호에서 b만 곱해지는 것입니다. 이번에는 a가 1차인 항을 생각해봅시다. 하나의 괄호에서만 a가 곱해지고, 나머지 괄호에서는 b가 곱해집니다. 몇가지 경우가 있을까요? n가지가 있습니다. 이번에는 a.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (11)중복조합 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(11)중복조합] 중복조합 서로 다른 n개의 문자가 있습니다. 이 중에서 r개를 택할건데, 중복을 허락해서 택하는 것입니다. 예를들어봅시다. a,b 두 문자가 있습니다. 중복을 허락해서 문자 두개를 뽑는 것입니다. 어떤 경우가 있을까요?? aaabbb 세가지가 있습니다. ba는요? 순열이 아니라 '조합'입니다. ab와 ba는 같은 경우입니다. 이해되시나요? 문자를 셋으로 늘려봅시다. a,b,c 세 문자에서 중복을 허락해서 문자 두개를 뽑아봅시다. aabbccabacbc 입니다. n개 중에서 r개를 중복을 허락하여 뽑는 경우의 수를 '중복 조합'이라고 하고, 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 중복 조합은 아래와 같이 구합니다. [증명] 위 수식이 어떻게 성.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (10)최단거리 문제 (합의법칙 관점) [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(10)최단거리 문제 (합의법칙 관점)] 최단거리 문제 (합의 법칙 관점) 바둑판모양의 도로가 있습니다. 가로선과 세로선들이 도로입니다. 도로의 한쪽 끝에서 반대편 끝까지 이동할 때, 최단거리로 이동할 수 있는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 1) 같은 것이 있는 순열 관점2) 합의 법칙 관점 오늘은 두번째 방법을 설명하겠습니다. 출발지점부터 가까운 교차점들부터 경우의 수를 세봅시다. 가장 가까운 지점까지 가는 방법은 한가지입니다. 오른쪽과 위쪽 모든 포인트들도 다 한가지씩입니다. 이제 아래 교차점까지 가는 경우의 수를 생각해봅시다. 두 가지 입니다. 너무 쉬워서 미쳐 생각하기 어려운데요. 사실 이 '두 가지'라는 것은 교차점 아래와 왼쪽의 경우의 수를.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (9)최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점) [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(8)순열과 조합]-[(9)최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점)] 최단거리 문제 (같은 것이 있는 순열 관점) 바둑판모양의 도로가 있습니다. 가로선과 세로선들이 도로입니다. 도로의 한쪽 끝에서 반대편 끝까지 이동할 때, 최단거리로 이동할 수 있는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 풀이 방법이 두가지가 있습니다. 1) 같은 것이 있는 순열 관점 2) 합의 법칙 관점 오늘은 첫번째 방법을 설명하겠습니다. 아래와 같은 경우가 최단거리입니다. 최단거리의 특징 살펴봅시다. 가로방향의 한칸 길이를 a, 세로방향 한칸 길이를 b라고 놓는다면 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 최단거리의 특징이 어떤가요. a가 5개, b가 4개입니다. 바둑판의 가로방향 칸의 수와 세로방향 칸의 수.. 2019. 8. 10.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (8)특정한 r개의 순서가 정해진 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(7)순열과 조합]-[(8)특정한 r개의 순서가 정해진 순열] 특정한 r개의 순서가 정해진 순열 1) 설명 서로다른 n개의 문자가 있다고 해봅시다. 그 중에서 r개의 순서가 정해져 있는 것입니다. 한가지 수학적인 트릭을 이용해서 이해합니다. r개를 서로 같은 문자로 생각해버리는 겁니다. 이렇게 배열한 뒤에 앞에서부터 우리가 정해놓은 순서대로 문자를 넣어버리면 됩니다. 같은 것이 있는 수열 문제가 됩니다. 따라서 경우의수는 아래와 같습니다. 2) 예시 아래와 같이 다섯개의 문자가 있습니다. a,b,c,d,e 이 문자를 일렬로 배열하는데 c,e 는 이 순서대로 배열해야 합니다. 경우의 수를 구해봅시다. e를 c로 바꿔버립니다 . a,b,c,d,c 그리고 배열합니다. 경우의 .. 2019. 8. 9.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (7)같은 것이 있는 순열 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[(6)순열과 조합]-[(7)같은 것이 있는 순열] 같은 것이 있는 순열 아래 예시로 시작해봅시다. a,a,b 위의 세개 문자를 배열해봅시다. 일단 같은 것이 없다고 생각하고 세개의 문자를 배열하는 경우의 수는 아래와 같습니다. 3x2x1=6 여기서 겹치는 경우를 없애 보겠습니다. 편의상 a 두개를 a₁과 a₂로 나눠서 배열해보겠습니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 이렇게 여섯가지입니다. a₁과 a₂가 같은 문자이기 때문에, 아래 같은 색으로 칠한 경우들은 겹치는 경우입니다. a₁ a₂ ba₂ a₁ ba₁ b a₂a₂ b a₁b a₁ a₂b a₂ a₁ 따라서 결과를 2로 나눠주어야 합니다. 여기서 '2'라는 것은 '중복되는 .. 2019. 8. 9.
[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (6)중복순열과 함수 [확률과통계]-[1.경우의 수]-[①순열과 조합]-[(6)중복순열과 함수] 중복순열과 함수 두 집합 A와 B가 있습니다. A={1,2,3,4}B={a,b,c} 두 집합 A와 B가 함수 f에 의해 대응된다고 해봅시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. f: A→B 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. X에서 Y로의 함수를 몇가지 만들 수 있을까요? 일단 X의 원소에는 Y의 원소가 하나만 대응되야 합니다. 반대로 하나의 Y에는 여러개의 X가 대응될 수 있습니다. 예를들어 봅시다. X의 첫번째 원소 1에 대응될 수 있는 Y는 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응됐다고 해봅시다. 이때 원소 2에는 어떤 값이 대응될 수 있을까요? 그대로 a,b,c 입니다. 원소 1에 a가 대응되고 2에도 a가 대응될 수 있는 .. 2019. 8. 8.
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