[모듈식 확률과 통계] 1.경우의 수 (12)이항정리와 이항계수

[확률과통계]-[1.경우의 수]-[②이항정리]-[(12)이항정리와 이항계수]

이항정리와 이항계수

아래와 같은 n제곱식이 있습니다. 

괄호 안에 항이 몇개죠? 2개입니다. 이항(2항,binomial)입니다. 그래서 이항정리에요. 

위와 같이 이항식의 n제곱을 전개해서, 계수들을 조합으로 표현하는게 '이항정리'입니다. 

자 그럼 전개를 해봅시다. 전개한 결과를 생각해봅시다. a의 입장에서 생각해보면, a가 0차인 항 부터 a가 n차인 항 까지 생길 것입니다. 

a가 0차인 항을 생각해보면 아래와 같이 전개할 때 모든 괄호에서 b만 곱해지는 것입니다. 

이번에는 a가 1차인 항을 생각해봅시다. 하나의 괄호에서만 a가 곱해지고, 나머지 괄호에서는 b가 곱해집니다. 몇가지 경우가 있을까요? n가지가 있습니다. 

이번에는 a가 2차인 항을 생각해봅시다. 두개의 괄호에서만 a가 곱해지고, 나머지 괄호에서는 b가 곱해집니다. 몇가지 경우가 있을까요? 이번에는 그냥 셀 수가 없습니다. 

n개의 자리 중에 a가 2개 들어가는 경우입니다. 따라서 a가 2차인 항은 개가 있습니다. 

같은 원리로 a가 k개 곱해진 항의 개수는 개 입니다. 

따라서 를 전개하면 아래와 같습니다. 

위 전개식에서 계수들을 '이항계수'라고 부릅니다. 이항계수들은 a와 b에 상관없이 일정합니다.