[모듈식 확률과 통계] 2.확률 (15)독립과 여사건

[확률과통계]-[2.확률]-[②조건부확률]-[(15)독립과 여사건]

독립과 여사건

두 사건 A,B가 서로 독립이라고 가정해봅시다. 

아래 관계들은 어떨까요? 서로 독립일까요 아닐까요? 

결론부터 말씀드리면 위 모든 관계가 서로 독립입니다. 우리에게 중요한 것은 '이유'입니다. 

하나씩 증명해봅시다 .

아래 등식에서 출발합니다. 

우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

P(A)로 묶어줍니다. 

1에서 P(A)를 뺀 것은 A의 여사건의 확률과 같습니다. 

따라서 두 사건은 독립입니다. 

아래 등식에서 출발합니다. 

우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

두 사건 A,B가 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

P(B)로 묶어줍니다. 

1에서 P(A)를 뺀 것은 A의 여사건의 확률과 같습니다. 

따라서 두 사건은 독립입니다. 

아래 등식에서 출발합니다. 

우변은 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

확률의 덧셈정리를 이용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

두 사건이 독립이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

괄호를 벗깁시다. 

아래와 같이 인수분해 할 수 있습니다. 

1에서 P(A)를 뺀 것은 A의 여사건의 확률과 같습니다. B도 마찬가지구요. 

따라서 두 사건은 독립입니다.