[5분 고등수학] 벡터의 내적과 성분

 

 

1. 벡터 내적의 정의

두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta \ \left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right )$ 라고 할 때, 두 벡터의 내적은 아래와 같이 정의됩니다. 

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \theta$

내적의 결과 값은 벡터가 아닌 실수(스칼라) 값입니다. 

동일한 벡터를 내적하면, 해당 벡터의 크기의 제곱이 됩니다. 

 

2. 벡터의 내적과 성분

벡터 $\vec{a}$ 의 성분을 $\left (a_{1},a_{2}  \right )$, 벡터 $\vec{b}$ 의 성분을 $\left (b_{1},b_{2}  \right )$ 라고 하겠습니다. 

벡터에 내적을 성분으로도 계산할 수 있습니다. 

$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

어떻게 성립하는지 유도해봅시다. ①번 식을 번형하면 아래와 같이 됩니다. 벡터 $\vec{a}$ 의 위치를 A, 벡터 $\vec{b}$의 위치를 B라고 한다면 삼각형 OAB 가 정의됩니다. 

삼각형 OAB에서 제2코사인 법칙을 적용하면 아래와 같습니다. 

$\overline{AB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{OB}^{2}-2\overline{OA} \ \overline{OB}\cos \theta$

성분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$\left ( b_{1}-a_{1} \right )^{2}+\left ( b_{2}-a_{2} \right )^{2}
=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}-2 \left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos \theta$

좌변을 전개합니다. 

$b_{1}^{2}-2b_{1}a_{1}+a_{1}^{2}+b_{2}^{2}-2b_{2}a_{2}+a_{2}^{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}-2 \left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos \theta$

소거해줍니다. 

$-2b_{1}a_{1}-2b_{2}a_{2}=-2 \left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos \theta$

양 변을 -2 로 나눠줍니다. 

$b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}= \left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos \theta$

위 식의 우변은 두 벡터의 내적과 같으므로, 아래 수식이 성립합니다. 

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$