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고등수학 5분증명(2009개정)/기하와 벡터

[5분 고등수학] 벡터의 내적과 성분

by bigpicture 2022. 4. 26.
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1. 벡터 내적의 정의

두 벡터 aabb 가 이루는 각의 크기를 θ (0θπ)θ (0θπ) 라고 할 때, 두 벡터의 내적은 아래와 같이 정의됩니다. 

ab=|a||b|cosθab=|a|bcosθ

내적의 결과 값은 벡터가 아닌 실수(스칼라) 값입니다. 

동일한 벡터를 내적하면, 해당 벡터의 크기의 제곱이 됩니다. 

 

2. 벡터의 내적과 성분

벡터 aa 의 성분을 (a1,a2)(a1,a2), 벡터 bb 의 성분을 (b1,b2)(b1,b2) 라고 하겠습니다. 

벡터에 내적을 성분으로도 계산할 수 있습니다. 

ab=a1b1+a2b2ab=a1b1+a2b2

어떻게 성립하는지 유도해봅시다. ①번 식을 번형하면 아래와 같이 됩니다. 벡터 aa 의 위치를 A, 벡터 bb의 위치를 B라고 한다면 삼각형 OAB 가 정의됩니다. 

삼각형 OAB에서 제2코사인 법칙을 적용하면 아래와 같습니다. 

¯AB2=¯OA2+¯OB22¯OA ¯OBcosθ¯¯¯¯¯¯¯¯AB2=¯¯¯¯¯¯¯¯OA2+¯¯¯¯¯¯¯¯OB22¯¯¯¯¯¯¯¯OA ¯¯¯¯¯¯¯¯OBcosθ

성분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

(b1a1)2+(b2a2)2=a21+b21+a22+b222|a||b|cosθ(b1a1)2+(b2a2)2=a21+b21+a22+b222|a|bcosθ

좌변을 전개합니다. 

b212b1a1+a21+b222b2a2+a22=a21+b21+a22+b222|a||b|cosθb212b1a1+a21+b222b2a2+a22=a21+b21+a22+b222|a|bcosθ

소거해줍니다. 

2b1a12b2a2=2|a||b|cosθ2b1a12b2a2=2|a|bcosθ

양 변을 -2 로 나눠줍니다. 

b1a1+b2a2=|a||b|cosθ

위 식의 우변은 두 벡터의 내적과 같으므로, 아래 수식이 성립합니다. 

ab=a1b1+a2b2

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