1. 벡터 내적의 정의
두 벡터 →a→a, →b→b 가 이루는 각의 크기를 θ (0≤θ≤π)θ (0≤θ≤π) 라고 할 때, 두 벡터의 내적은 아래와 같이 정의됩니다.
→a⋅→b=|→a||→b|cosθ→a⋅→b=|→a|∣∣→b∣∣cosθ
내적의 결과 값은 벡터가 아닌 실수(스칼라) 값입니다.
동일한 벡터를 내적하면, 해당 벡터의 크기의 제곱이 됩니다.
2. 벡터의 내적과 성분
벡터 →a→a 의 성분을 (a1,a2)(a1,a2), 벡터 →b→b 의 성분을 (b1,b2)(b1,b2) 라고 하겠습니다.
벡터에 내적을 성분으로도 계산할 수 있습니다.
→a⋅→b=a1b1+a2b2→a⋅→b=a1b1+a2b2
어떻게 성립하는지 유도해봅시다. ①번 식을 번형하면 아래와 같이 됩니다. 벡터 →a→a 의 위치를 A, 벡터 →b→b의 위치를 B라고 한다면 삼각형 OAB 가 정의됩니다.
삼각형 OAB에서 제2코사인 법칙을 적용하면 아래와 같습니다.
¯AB2=¯OA2+¯OB2−2¯OA ¯OBcosθ¯¯¯¯¯¯¯¯AB2=¯¯¯¯¯¯¯¯OA2+¯¯¯¯¯¯¯¯OB2−2¯¯¯¯¯¯¯¯OA ¯¯¯¯¯¯¯¯OBcosθ
성분으로 표현하면 아래와 같습니다.
(b1−a1)2+(b2−a2)2=a21+b21+a22+b22−2|→a||→b|cosθ(b1−a1)2+(b2−a2)2=a21+b21+a22+b22−2|→a|∣∣→b∣∣cosθ
좌변을 전개합니다.
b21−2b1a1+a21+b22−2b2a2+a22=a21+b21+a22+b22−2|→a||→b|cosθb21−2b1a1+a21+b22−2b2a2+a22=a21+b21+a22+b22−2|→a|∣∣→b∣∣cosθ
소거해줍니다.
−2b1a1−2b2a2=−2|→a||→b|cosθ−2b1a1−2b2a2=−2|→a|∣∣→b∣∣cosθ
양 변을 -2 로 나눠줍니다.
b1a1+b2a2=|→a||→b|cosθ
위 식의 우변은 두 벡터의 내적과 같으므로, 아래 수식이 성립합니다.
→a⋅→b=a1b1+a2b2
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