[5분 고등수학] 공간에서의 직선의 방정식

 

 

1. 공간에서의 직선의 벡터방정식

공간상의 한 점 A를 지나고 방향벡터가 u인 직선의 방정식을 구해봅시다. 

이 직선 위의 한 점을 P라고 하면 P의 방향벡터는 p입니다. 

벡터 AP는 u에 평행하므로 아래 등식이 성립합니다.

$\overrightarrow{AP}=t\vec{u}$

방향벡터를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. 

$\vec{p}-\vec{a}=t\vec{u}$

벡터 p에대해 표현하면 벡터방정식을 얻습니다. 

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$

 

 

2. 공간에서의 직선의 스칼라방정식

세 점의 좌표를 아래와 같이 정합시다. 

$P(x,y,z)$
$A(x_{1},y_{1},z_{1})$
$u(a,b,c)$

위 벡터방정식을 좌표를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. 

$\left ( x,y,z \right )=\left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right )+t(a,b,c)$

벡터가 같을 조건에 의해 아래 수식을 얻을 수 있습니다. 

$x=x_{1}+at , \ y=y_{1}+bt , \ z=z_{1}+ct$

t에 대해 정리하겠습니다. 아래와 같이 직선의 방정식을 얻습니다. 

$\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}$

 

 

3. 두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ 와 $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ 를 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다. 

1,2번을 통해 한 점과 방향벡터를 알면 직선의 방정식을 구할 수 있다는 것을 확인했습니다. 이 문제는 점 A를 지나고 방향벡터가 AB 인 문제로 바뀝니다. 

따라서 아래와 같은 직선의 방정식을 얻습니다. 

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$