[5분 고등수학] 직선의 벡터 방정식

 

 

1. 한점을 A를 지나고 벡터 $\vec{u}$ 에 평행한 직선의 방정식

 

A의 위치벡터를 $\vec{a}$, 성분을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 하겠습니다. 

방향벡터 벡터 $\vec{u}$의 성분을 $(a,b)$ 라고 하겠습니다. 

직선위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 놓고, P의 위치벡터를 $\vec{p}$ 라고 하겠습니다. 

 

 

1) 벡터식 세우기

벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 A와 P의 위치벡터를 이용하여 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

​$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$    (1)

벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 벡터 $\vec{u}$ 에 평행하므로 아래 등식이 성립합니다. 

$\overrightarrow{AP}=t\vec{u}$

(1)번 식과 연립하면 아래와 같이 됩니다. 

$\vec{p}-\vec{a}=t\vec{u}$

이항하여 정리하면 아래와 같습니다. 

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$

 

 

2) 성분식

​위 벡터식을 성분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$​\left ( x,y \right )=\left ( x_{1},y_{1} \right )+t\left ( a,b \right )$

성분별로 나눠서 쓰면 아래와 같습니다. 

$x=x_{1}+at$

$y=y_{1}+bt$

t에 대해 정리해줍니다. 

$t=\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}$

직선의 방정식은 아래와 같습니다. 

$\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}$   (2)

이때, a와 b는 0이 아니어야 합니다. 

 

 

2. 두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점 $A\left ( x_{1},y_{1} \right ), \ B\left ( x_{2},y_{2} \right )$ 를 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다.

두 점을 연결한 벡터 $\overrightarrow{AB}$ 는 방향벡터입니다. 성분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$\overrightarrow{AB}=\left ( x_{2}-x_{2},y_{2}-y_{1} \right )$

2번 식을 이용하여 직선의 방정식을 만들어줍시다. 한 점 $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ 을 지나고, 벡터 $\overrightarrow{AB}=\left ( x_{2}-x_{2},y_{2}-y_{1} \right )$ 에 평행한 직선의 방정식입니다. 

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$

분모는 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 

 

 

3. 한 점A을 지나고 벡터 $\vec{n}$ 에 수직인 직선의 방정식

A의 위치벡터를 $\vec{a}$, 성분을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 하겠습니다. 

벡터 $\vec{n}$ 의 성분을 $\left ( a,b \right )$ 라고 하겠습니다. 

직선 위의 임의의 점을 $P(x,y)$라고 놓겠습니다. 벡터 AP는 아래와 같습니다. 

$\overrightarrow{AP}=\left ( x-x_{1},y-y_{1} \right )$  

벡터 $\vec{n}$과 $\overrightarrow{AP}$ 는 서로 수직이기 때문에 둘을 내적하면 0이 됩니다. 

$​\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0$

성분으로 나타내면 아래와 같습니다. 

$​a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0$