[5분 고등수학] 점과 평면 사이의 거리

 

 

평면α가 하나 있구요. 평면 α의 방정식을 $ax+by+cz+d=0$ 이라고 하겠습니다. 

평면의 법선벡터는 $\vec{n}=(a,b,c)$ 입니다. 

이 평면 위에 있지 않은 한 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ 이 있습니다. 

이 점에서 평면에 내린 수선의 발을 $H(x_{2},y_{2},z_{2})$ 라고 하겠습니다. 

벡터 AH를 정의할 수 있구요. 

​$\overrightarrow{AH}=\left ( x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2} \right )$

벡터 n과 AH를 내적하면 아래와 식을 얻습니다. 

$\overrightarrow{AH} \cdot \vec{n}=\pm \left | \overrightarrow{AH} \right | \left | \vec{n} \right |$

​양변에 절댓값을 씌우면 아래와 같습니다. 

$\left | \overrightarrow{AH} \cdot \vec{n} \right |=\left | \overrightarrow{AH} \right | \left | \vec{n} \right |$

AH에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

$\left | \overrightarrow{AH} \right | =\frac{\left | \overrightarrow{AH} \cdot \vec{n} \right |}{\left | \vec{n} \right |}$

적분을 성분으로 계산하고, 벡터n의 길이도 좌표들을 이용해서 나타냅시다. 

$\left | \overrightarrow{AH} \right | = \frac{\left | a\left ( x_{1}-x_{2} \right )+b\left ( y_{1}-y_{2} \right )+c\left ( z_{1}-z_{2} \right ) \right |} {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

분자를 전개해봅시다. 

$\left | \overrightarrow{AH} \right | = \frac{\left | ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-ax_{2}-by_{2}-cz_{2} \right |} {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$(x_{2},y_{2},z_{2})$는 평면위의 점이므로 아래 식이 성립합니다. 

$ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$

아래와 같이 변형합시다. 

$-ax_{2}-by_{2}-cz_{2}=d$

따라서 d로 대체하면 아래와 같습니다. 

$\left | \overrightarrow{AH} \right | = \frac{\left | ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d \right |} {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$