[5분 고등수학] 두 직선이 이루는 각의 크기

 

 

아래와 같이 공간에서의 두 직선의 방정식이 있습니다.

$\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$

$\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}$

두 직선이 이루는 각을 구해봅시다. 두 방향벡터가 이루는 각이 두 직선 사이의 각입니다. 방향벡터는 아래와 같습니다.

$\vec{u_{1}}=\left ( a_{1},b_{1},c_{1} \right )$

$\vec{u_{2}}=\left ( a_{2},b_{2},c_{2} \right )$

두 벡터를 내적합니다. 

$\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}}=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}=\left | \vec{u_{1}} \right |\left | \vec{u_{1}} \right |\cos \theta$

cosθ 로 정리합시다.

$​\cos \theta=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{\left | \vec{u_{1}} \right |\left | \vec{u_{1}} \right |}$

방향벡터를 어떻게 잡느냐에 따라 θ가 둔각이 될 수도 있고, 예각이 될 수도 있습니다. 예각을 α, 둔각을 β라고 하면 아래 등식이 성립합니다.

$\cos \alpha =\cos \left ( \pi-\beta \right )=-\cos\beta$

따라서 벡터방향을 둔각이 발생하도록 선택하여 둔각의 코사인 값이 계산되었을 때, 부호를 바꾸는 것 만으로 예각의 코사인 값을 계산할 수 있습니다. 

각도가 예각일 때 코사인 값은 항상 양수입니다. 방향벡터가 이루는 각 중 예각을 α라고 한다면 아래 등식이 성립합니다. 

​$​\cos \alpha=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{\left | \vec{u_{1}} \right |\left | \vec{u_{1}} \right |}$

두 직선이 이루는 각 중 예각의 코사인 값을 구한 것입니다.