수학에서 닫혀있다가 뭔가요? (수의 사칙연산과 닫혀있다)

일상적으로 '닫혀있다'라는 말을 들으면, 아래 사진과 같은 경우를 상상합니다. 

 

 

이 사진처럼 방의 모든 문이 닫혀있다면, 방에서 무슨일이 벌어져도 그 결과가 방 안에 있을 겁니다. 수학적으로 닫혀있다는 의미도 이와 유사합니다. 

 

수학에서 닫혀있다는 것은 집합이 연산에 대해 닫혀있다는 것을 의미합니다. 어떤 집합의 원소들 사이의 연산결과가 여전히 이 집합의 원소일 때 닫혀있다고 말합니다. 

 

'닫혀있다'의 예시를 살펴봅시다. 

우리가 알고 있는 수는 자연수,정수,유리수,무리수,실수,복소수라는 6개의 수이고, 대표적인 연산인 사칙연산은 4개입니다.

따라서 닫혀있다를 확인해야하는 경우의 수는 24가지 입니다. 표로 만들어봅시다. 

 

	+	-	X	/
자연수	O	X	O	X
정수	O	O	O	X
유리수	O	O	O	O
무리수	X	X	X	X
실수	O	O	O	O
복소수	O	O	O	O

 

자연수와 자연수를 더하면 항상 자연수니까 덧셈에 대해서 닫혀있습니다. 자연수와 자연수를 빼면 음수가 나오는 경우도 있으므로 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않습니다. 자연수와 자연수를 곱하면 항상 자연수니까 곱셈에 대해서 닫혀있습니다. 자연수와 자연수를 나누면 분수가 나오는 경우도 있으므로 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않습니다.  

정수와 정수를 더하거나 빼거나 곱한 결과는 항상 정수니까 덧셈,뺄셈,곱셈에 대해서 닫혀있습니다. 정수와 정수를 나누면 분수가 될 수도 있으므로 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않습니다. 

유리수와 유리수를 더하거나 곱하거나 빼거나 나눈 결과는 유리수입니다. 한 유리수를 a/b로 두고 다른 유리수룰 c/d로 두면 쉽게 보일 수 있습니다. 따라서 모든 연산에 닫혀 있습니다. 

무리수와 무리수를 더하거나 빼면 0이 될 수 있으므로 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않습니다. 두 무리수를 곱하거나 나누면 유리수가 될 수도 있으므로 곱셈과 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않습니다. 

실수의 사칙연산 결과는 실수구요. 복소수의 사칙연산 결과도 복소수입니다. 실수와 복소수는 사칙연산에 대해 닫혀 있습니다. 

 

한가지 문제가 있습니다. 0으로 나누는 경우에는 값이 정의되지가 않습니다. 따라서 나눗셈에 대해서 닫혀있다고 말할 때, 0으로 나누는 경우를 제외하면 나눗셈에 대해 닫혀있다고 해야 맞습니다. 

 

연산의 종류에 대해서도 알아볼까요? 

 

우리가 잘 알고 있는 사칙연산은 항이 최소한 두개는 있어야 연산이 정의되므로 이항연산이라고 합니다. 

연산에는 꼭 사칙연산만 있는 것은 아니구요. 절댓값도 일종의 연산입니다. 절댓값은 항이 하나만 사용되죠? 이러한 연산은 단항연산이라고 합니다. 

 

연산과 닫혀있다를 이용하여 재밌는걸 해볼 수도 있습니다.

여기 집합이 하나 있습니다.

A={1,2,3}

이 집합이 닫혀있는 연산을 거꾸로 정의해볼 수도 있습니다. 표를 하나 그려봅시다. 빈칸이 두 수 a,b의 연산결과입니다. 

		a
		1	2	3
b	1
	2
	4

저는 아래와 같은 연산을 정의했습니다. 이름은 고양이 연산입니다. 아래 표는 a고양이b 연산의 결과입니다. 

 

고양이 연산		a
		1	2	3
b	1	1	2	3
	2	1	2	3
	4	1	2	3

 

예를들면 

1고양이1=1
1고양이2=2

인 것입니다. 연산의 결과가 항상 집합A의 원소이므로 닫힌연산입니다. 하지만 교환,결합,분배법칙 등은 성립하지 않죠. 좋은 수체계는 아닙니다. 우리가 사용하는 실수체계는 아주 좋은 수체계라는 것을 알 수 있습니다.