유리수 세는 법

 

 

다른 글에서 수학에서의 '셀 수 있다' 와 우리가 일반적으로 알고 있는 '셀 수 있다'가 다르다는 것을 다뤘습니다. 수학에서 '셀 수 있다'는 것은 번호를 붙여서 셀 수 있다는 것을 의미했습니다. 자연수집합의 원소의 개수는 무한하지만 자연수는 '하나' '둘' '셋' 과 같이 모든 원소에 번호를 붙이는 것이 가능하기 때문에 셀 수 있는 것입니다. 

유리수도 셀 수 있는데요. 유리수를 셀 수 있다는 것은 잘 와닿지 않을 것입니다. 유리수와 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 존재하기 때문입니다. 유리수는 자연수처럼 크기 순서대로 셀 수는 없습니다. 예를들어 유리수 1부터 세기 시작한다면, 1 다음의 유리수를 정할 수 없기 때문입니다. 1.1일까요. 그럼 1.01은요. 1.001은요? 

따라서 유리수에 전부 번호를 붙일 수 있는 어떤 규칙을 만들어야 합니다. 유리수는 두 정수의 비로 정의됩니다. 두 정수의 비를 예로 들면 아래와 같습니다. 

$$\frac{b}{a}$$

우리는 이 값을 좌표평면 상의 한 점에 대응시킬 수 있습니다. 

$$\frac{b}{a} \rightarrow (a,b)$$

좌표평면을 한번 그려봅시다. 

 

가로축을 a축, 세로축을 b축이라고 하겠습니다. 좌표평면에 a와 b가 정수인 점을 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

각 점들은 유리수를 의미합니다. 예를들어 (1,2)라는 점은 유리수 $\frac{1}{2}$ 인 것입니다. 1사분면과 3사분면의 점들은 같은 유리수를 가리킵니다. 예를들어 (1,2)와 (-1,-2)는 둘다 $\frac{1}{2}$ 입니다. 따라서 3사분면의 점은 없애도 됩니다. 같은 이유로 2,4분면이 동일하고, 2사분면의 점을 없애겠습니다. 

 

a가 0인 경우는 정의되지 않으므로 a가 0인 점을 없애겠습니다. 

 

2,3분면에서 a축에 걸려있는 값들은 b가 0인 경우이므로 전부 값이 0인데, 값이 0인 경우는 1,4사분면에도 존재하므로 없앨 수 있습니다. 

 

이제 번호를 붙여봅시다. (1,0)부터 시작하겠습니다. (1,0)에 해당되는 유리수 값은 0입니다. 1번을 붙입니다. 

 

아래와 같은 방향으로 진행하며 번호를 붙여줍니다. 겹치는 값이 나오면 건너뜁니다. 

이렇게 하면 모든 유리수에 번호를 붙일 수가 있습니다. 물론 우리 인생을 다 바쳐도, 죽기 전까지 번호를 다 붙이는 것은 불가능합니다. 하지만 그건 우리의 시간이 유한하기 때문에 못붙이는 것이지 유리수에 전부 번호를 붙이는게 불가능한 것은 아닙니다. 하지만 실수는 우리가 영원히 산다고 해도 번호를 붙이는게 불가능합니다. 왜 일까요?