"무한집합은 셀 수 없다"는 거짓이다.

 

 

오늘은 쉽게 빠질 수 있는 한가지 오개념에 대해 이야기해보려고 합니다. 

"무한집합은 셀 수 없다." 라고 잘못 알고계신 분들을 위한 글입니다. 

설명을 시작하겠습니다. 

흔히 하는 오해는 유한집합과 무한집합을 나누는 기준이 셀수 있고 없고에 달려 있다는 것입니다. 이는 '셀 수 있다'는 말을 오해해서 발생한 것입니다. 마치 끝까지 셀 수 있어야 유한이고, 끝까지 셀 수 없으면 무한인 것처럼 착각하게 만듭니다. 오해를 풀어봅시다. 

셀 수 있다는 것은 영어로 countable 입니다. 오해가 없도록 설명하면 아래와 같습니다. 

 

'번호를 붙일 수 있는'

 

번호를 붙일 수 있으면 셀 수 있는겁니다. 

예를 들어 자연수의 집합은 그 끝을 알 수 없을 정도로 무한히 많지만, 번호를 붙일 수 있습니다. 하나,둘,셋, ..이렇게 번호 붙여 세기가 가능합니다. 따라서 셀 수 있는 집합입니다. 정수도, 유리수도 마찬가지입니다. 뭐? 유리수를 셀 수 있다고? 네 셀 수 있습니다.

반면 실수는 셀 수 없습니다. 느낌적으로 셀 수 없을 것 같은데 이것도 증명이 필요하겠네요. 다른 글로 토스합니다. 

 

유한집합은 셀 수 있다. 
무한 집합은 셀 수 있는 경우도 있고 없는 경우도 있다. 

셀 수 있는 무한집합에는 자연수, 정수, 유리수 집합이 있다.  
셀 수 없는 무한집합에는 실수 집합이 있다. 

결론입니다. 

셀 수 있다는 것은 번호를 붙일 수 있다는 말이다. 

유리수는 어떻게 세는데?
실수는 왜 셀 수 없는데?

라는 질문은 다른 글로 넘긴다. 

 

+ 참고로 무한 집합 중 셀 수 있는 집합을 가부번집합이라고 합니다. (이건 설명란)

 

가 : 가능하다

부 : 부여하다

번 : 번호를