오일러 공식 유도 (테일러급수 이용)

오일러가 발견한 오일러공식을 유도해봅시다. 파인만은 이 공식을 보석이다, 수학분야에서 가장 놀라운 공식이다 라고 표현했습니다. 그도 그럴것이, 이 공식은 수학,물리학,공학의 다양한 분야에서 사용됩니다. 제 경우는 학부시절 동역학(Dynamics) 수업에서 이 공식을 처음 접했습니다. 이름에서 알 수 있듯, 레온하르트 오일러가 유도했습니다. 오일러는 스위스 수학자이며, 베르누이의 제자입니다. 

 

테일러급수를 이용한 유도

 

테일러 급수의 일반형은 아래와 같습니다. 테일러 급수까지 유도하지는 않겠습니다. 

 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots $

 

테일러급수에서 a에 0을 넣은 형태를 '매클로린 급수'라고 부릅니다. 증명에는 매클로린급수가 사용됩니다. 

 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^{2}+\cdots $

 

$e^{x}$, $sin(x)$, $cos(x)$ 에 매클로린 급수를 각각 적용해봅시다.

 

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots $

 

$cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1^{n}}{n!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots$

 

$sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots$

 

 

 

$e^{x}$의 전개식에 $ix$를 대입해봅시다. 

 

$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(ix)^{n}}{n!}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\cdots$

 

거듭제곱을 계산합시다.

 

$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x)^{n}}{n!}=1+ix+\frac{-x^{2}}{2!}+\frac{-x^{3}i}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

 

홀수 번째 항과 짝수 번째 항을 따로 분리하여 괄호로 각각 묶어줍시다.

 

$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x)^{n}}{n!} =\left (  1+\frac{-x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots \right ) +\left (ix+\frac{-x^{3}i}{3!}+\frac{-x^{5}i}{5!}+\cdots\right )$

 

짝수 번째 항을 i로 묶어줍시다.

 

$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x)^{n}}{n!} =\left (  1+\frac{-x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots \right ) +\left (x+\frac{-x^{3}}{3!}+\frac{-x^{5}}{5!}+\cdots\right )i$

 

홀수 번째 항은 cos(x)의 매클로린 급수와 같고 짝수번째 항은 sin(x)의 매클로린 급수와 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$