0.999...=1 다양한 증명

 

 

0.999...=1 의 다양한 증명 방법을 알아보도록 하겠습니다. 0.999... 는 1에 가까워지는 수가 아닌 1입니다. 

 

1) 대수적 방법

 

0.999...를 x라고 놓겠습니다. 

 

$$x=0.9999....$$

 

x에 10을 곱합니다. 

 

$$10x=9.999...$$

 

이 식에서 원래 식을 뺍니다. 

 

$$9x=9$$

 

양변을 9로 나눠줍니다. 

 

$$x=1$$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다.

 

$$0.999...=1$$

 

 

2) 무한소수들의 합 이용1

 

$\frac{1}{3}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$$\frac{1}{3}=0.333...$$

 

양변에 3을 곱합시다. 

 

$$1=0.999...$$

 

 

3) 무한소수들의 합 이용2

 

$\frac{1}{11}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$$\frac{1}{11}=0.090909...$$

$\frac{10}{11}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$$\frac{10}{11}=0.909090...$$

 

둘을 더해줍니다.

 

$$1=0.9999....$$

 

 

4) 수열의 극한 이용

 

1은 0.9와 0.1의 합입니다.

 

$$0.9+0.1=1$$

1은 0.99와 0.01의 합입니다.

 

$$0.99+0.01=1$$

 

1은 0.999와 0.001의 합입니다.

 

$$0.999+0.001=1$$

 

0.999를 0.9의 아래첨자 3으로 놓고, 0.001은 지수형태로 변형하겠습니다.

 

$$0.9_{(3)}+\frac{1}{10^{3}}=1$$

 

n번째 항은 아래와 같습니다. 

 

$$0.9_{(n)}+\frac{1}{10^{n}}=1$$

 

양변에 극한을 취해줍니다. 1은 극한을 취해도 1입니다. 

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 0.9_{(n)}+\frac{1}{10^{n}} \right )=1$$

 

좌변의 두 항이 수렴하므로 아래와 같이 나눠줄 수 있습니다.

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 0.9_{(n)} \right )+\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( \frac{1}{10^{n}} \right )=1$$

 

$frac{1}{10^{n}}$ 의 극한값은 0입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 0.9_{(n)} \right )=1$$