0.999...=1 의 나름 자세한 증명 (1편)

 

 

지난 글에서는 0.999...=1의 다양한 증명방법을 알아보았는데요. 엄밀한 방법들은 아닙니다. 앞으로 나름 엄밀하게 증명해보도록 하겠습니다. 아무나 이해할 수 있도록 생소할 수 있는 전공용어들은 최대한 사용하지 않을 것이며, 어쩔 수 없이 등장하는 용어의 정의는 최대한 쉽게 설명할 것입니다. 수학을 전공하신 분들이 보기엔 어이가 없을 수도 있는데, 비전공자 일반인을 타겟으로 쓴 글입니다. 

 

내용이 길어서 다섯개의 글로 나눠서 설명하겠습니다. 

 

1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성

2) 유리수의 조밀함(2005년 임용고시 기출)
3) 유리수의 빈틈
4) 실수의 완비성
5) 엡실론 델타법

 

 

등식 유도부터 다시

 

지난 글의 4번째 방법에서 엄밀하지 않은 부분을 먼저 알아봅시다. 

 

$$0.9_{(n)}+\frac{1}{10^{n}}=1$$

 

양변에 극한을 취해줍니다. 1은 극한을 취해도 1입니다. 

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 0.9_{(n)}+\frac{1}{10^{n}} \right )=1$$

 

여기서 좌변의 극한값을 둘로 나눴었는데요. 두가지 문제를 발견할 수 있습니다. 좌변의 두 극한값이 수렴한다고 가정하고 항을 분리했는데, $0.9_{(n)}$ 과$\frac{1}{10^{n}}$ 이 수렴하는가를 모른는 상황입니다. $\frac{1}{10^{n}}$ 이 0으로 수렴한다는 것은 증명했다고 쳐도, 여전히 $0.9_{(n)}$ 는 수렴하는지 모르기 때문에 극한을 분리해서 쓸 수가 없습니다. $0.9_{(n)}$의 수렴값이 1임을 증명하는 중이었으므로, $0.9_{(n)}$을 증명하려면 처음으로 돌아가야하고, 무한루프에 빠지게 됩니다. 따라서 이때는 아래 등식이 성립하고 수열 bn이 수렴할 때, 극한값을 분리해서 쓸 수 있다는 것을 보여야 합니다. 

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=\alpha$$

 

어렵지 않게 보일 수는 있지만, 단계가 많아지므로 다른 방법을 사용하겠습니다. 극한을 취하기 전 식인 아래 식에서 이항을 하겠습니다. 

 

$$0.9_{(n)}+\frac{1}{10^{n}}=1$$

 

아래와 같이 이항합니다. 

 

$$0.9_{(n)}=1-\frac{1}{10^{n}}$$

 

양변에 극한을 취합니다. 

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty }0.9_{(n)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{10^{n}} \right )       $$

 

위 식에서 우변이 1임을 증명하면 됩니다. 

 

 

증명의 방향성

 

우변이 1이라는 것은 실수의 완비성과 '입실론 델타법'을 이용하면 증명할 수 있습니다. 실수의 완비성은 실수가 수직선을 빼곡하게 매우고 있다는 성질입니다. 따라서 A와 B 사이에 어떠한 실수도 존재하지 않는다면, A와 B는 같은 실수입니다. 5편에서 실수의 완비성을 유도할 것입니다. 6편에서 입실론 델타법을 이용하여 위 수식의 우변과 1 사이에 아무런 실수도 존재하지 않는다는 것을 보이면 증명완료. 

 

2,3편에서는 실수의 완비성을 증명하기 전에 먼저 유리수를 다루려고 합니다. 유리수도 나름 조밀한데 왜 유리수는 완비하지 않은지를 먼저 증명하고, 실수의 완비성으로 넘어가겠습니다. 

 

끝.