두 유리수 사이에는 무리수가 항상 있을까?

 

 

서로 다른 두 유리수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 것은 a+b/2 가 유리수이므로 쉽게 보일 수 있습니다.

문득 궁금해졌습니다. 서로 다른 두 유리수 사이에 항상 무리수가 존재할까요? 

 

서로 다른 두 유리수를 a,b라고 합시다. b가 a보다 크다고 놓겠습니다.

a<b

0보다 크고 1보다 작은 무리수를 하나 정의합시다. k라고 놓겠습니다.

0<k<1

k를 예로 들면 1/sqrt(2), 1/sqrt(3), 1/pi 등이 있습니다.

a<b 이므로, 0<b-a 입니다. 0<k<1 식의 각 변에 (b-a)를 곱합시다. 

0<k(a-b)<a-b

각 변에 a를 더합시다.

a<a+k(a-b)<b

k는 무리수이고 (a-b)는 0이 아닌 유리수이므로, 둘을 곱한 결과는 무리수입니다. 이 무리수에 유리수 a를 더한 결과인 a+k(a-b)도 무리수입니다. 

따라서 서로 다른 두 유리수 사이에는 무리수가 항상 존재합니다.