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수학(하)102

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (23) 역함수의 성질 (함수 2개 이상) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(23) 역함수의 성질 (함수 2개)] 역함수의 성질 (함수2개 이상) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 3,4번을 증명해봅시다. 3번은 두개의 함수, 4번은 두개 이상의 함수를 다루는 경우입니다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 수식으로.. 2021. 1. 5.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (22) 역함수의 성질 (함수 1개) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(22) 역함수의 성질 (함수 1개)] 역함수의 성질 (함수1개) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. ㅇ4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 1,2번을 증명해봅시다. 1,2번은 한가지 함수만을 다루는 경우입니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. $$(f^{-1})^{-1}=f$$ 아래 그림에서 역함수는 화살.. 2020. 12. 29.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (21) 역함수 구하는 방법 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(21) 역함수 구하는 방법] 역함수 구하는 방법 $y=f(x)$ 의 역함수를 구하는 방법을 알아봅시다. 한가지 예시를 통해 역함수를 구해보고 일반화시켜봅시다. $y=3x+2$ 의 역함수를 구해봅시다. 먼저 "일대일 대응"인지확인해야합니다. 일대일대응 함수여야 역함수가 존재하기 때문입니다. 일단 일대일함수입니다. $x$값 하나당 $y$이 하나만 존재합니다. 또한 정의역, 공역, 치역 모두 실수 전체의 집합입니다. 일대일 함수에 공역과 치역이 같으므로 일대일 대응입니다. 어떤 함수의 역함수는 치역과 정의역이 뒤바뀐 것입니다. 따라서 $y=3x+2$ 함수에서 $x$와 $y$의 자리를 바꿔줍니다. $$x=3y+2$$ 이제 $y=f^{-1}(x)$ 형.. 2020. 12. 22.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (20) 역함수가 존재할 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(20) 역함수가 존재할 조건] 역함수가 존재할 조건 함수 f: X→Y 의 역함수가 존재할 조건을 알아봅시다. 역함수가 존재하지 않는 경우를 살펴보며 존재할 조건을 알아내도록 합시다. 1) 공역과 치역이 다른 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 공역과 치역이 같아야 합니다. 2) 함수값이 중복되는 경우 역함수가 존재하지 않습니다. 따라서 일대일 함수여야 합니다. 두 조건을 종합해보면, 공역과 치역이 같아야 하고 일대일함수여야합니다. 공역과 치역이 같고 일대일 함수인 경우는 '일대일 대응'입니다. 역함수가 존재할 조건은 '일대일 대응'입니다. 반대로 두 함수가 일대일 대응이여도 역함수가 존재합니다. 따라서 일대일 대응은 역함수가 존재할 필요.. 2020. 12. 15.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (19) 역함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(19) 역함수란 무엇인가] 역함수란 무엇인가 역함수는 함수를 반대방향으로 정의한 것입니다. 정의역이 치역이 되고, 치역이 정의역이 되는 것입니다. 화살표 방향이 반대로 바뀐다고 이해하시면 됩니다. 아래 함수 f(x)를 봅시다. f(x)를 반대방향으로 정의하면 아래와 같습니다. 기호로는 로 나타냅니다. 이 함수를 f(x)의 역함수라고 부릅니다. 기호를 이용하여 함수 f(x)와 그 역함수를 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 12. 8.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(18) 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴] 합성함수의 성질 : 항등함수와 합성시 자기 자신 나옴 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 세번째 성질을 증명해봅시다. 항등함수와 합성 시 자기 자신이 나온다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 증명해봅시다. 먼저 첫번째 식의 순서로 항등함수와 f를 함성하면 아래와 같습니다. 정의역을 x로 놓겠습니다. 항등함수 I(x) 는 x입니다. I(x)=x 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 이번에는 두번째 식의 순서로 항등함수와 f를 합성해 봅시다. 위에서와 같은 이유로 아래와 같이 변형됩니다.. 2020. 12. 1.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(17) 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함] 합성함수의 성질 : 결합법칙 성립함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 두번째 성질을 증명해봅시다. 결합법칙이 성립한다는 것은 아래 등식이 성립한다는 것입니다. 이 등식의 성립을 증명하기 전에, 조건부터 알아봅시다. 아무 함수에서나 성립하는 조건은 아닙니다. 일단 합성이 가능해야합니다. f와 g가 합성이 가능하고, g와 h가 합성이 가능하려면 함수가 아래와 같이 정의되어 있어야 합니다. 임의의 집합 X,Y,Z,W 에서 정의된 함수 f,g,h 는 아래와 같다. 이제 결합법칙을 증명해봅시다. 좌변의 경우 .. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(16) 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함] 합성함수의 성질 : 교환법칙 성립안함 합성함수의 성질은 아래의 세가지가 있습니다. 1) 교환법칙 성립 안함2) 결합법칙 성립함3) 항등함수와 합성시 자기자신이 나옴 오늘은 첫번째 성질을 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 합성함수에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 두 함수 f, g에 대하여 이제 위 등식이 성립하지 않는다는 것을 증명해 봅시다. 수학에서 대표적인 증명방법은 아래의 네가지가 있습니다. - 직접증명- 수학적 귀납법- 귀류법- 반례 반례를 이용하여 증명하겠습니다. 반례가 하나라도 존재한다면 위 등식은 성립하지 않는 것입니다. 두 함수를 아래와 같이 놓겠습.. 2020. 11. 24.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(15)함수의 합성이 가능하기 위한 조건] 함수의 합성이 가능하기 위한 조건 아무 함수나 합성이 가능한 것은 아닙니다. 합성이 가능한 상황과, 불가능한 상황을 살펴보며 언제 합성이 가능한지 알아봅시다. 아래 두 함수 f와 g를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 알아보는 방법은 g(f(x)) 라는 합성함수에 정의역 1,2,3,4,5 를 하나씩 대입해서 함수값이 존재하는지 알아보는 것입니다. g(f(1)) 은 얼마일까요? a입니다. 같은방법으로 확인하다 보면 g(f(5)) 의 값이 정의되지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 위 함수는 정의될 수 없습니다. 이번엔 아래 함수를 봅시다. f와 g는 합성이 가능할까요? 확인해봅시다. g(f(1.. 2020. 11. 18.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (14) 합성함수란 무엇인가 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(14)합성함수란 무엇인가] 합성함수란 무엇인가 세 집합이 있다고 합시다. 세 집합을 X, Y, Z 라고 놓겠습니다. 세 집합으로 함수를 정의하겠습니다. X에서 Y로의 함수를 하나 정의하고 f(x)라고 놓겠습니다. Y에서 Z로의 함수를 하나 정의하고 g(x)라고 놓겠습니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. f(x) 와 g(x)를 이용하면, X에서 Z로의 함수를 하나 정의할 수 있습니다. g(f(x)) 입니다. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 합니다. g(f(x)) : f와 g의 합성함수 합성함수를 나타내는 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 위 함수를 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 2020. 10. 20.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (13)상수함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(13)상수함수의 개수] 상수함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 상수 함수의 개수를 구해봅시다. 상수 함수는 X의 함수값이 전부 하나의 Y값으로 가는 경우를 말합니다. 따라서 위 경우 상수함수의 개수는 5가지입니다. 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 위 경우, 상수함수의 개수는 m개 입니다. 2020. 10. 13.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (12) 일대일 대응의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(12)일대일 대응의 개수] 일대일 대응의 개수 일대일 대응은 x의 함수값이 전부 다르고, 공역과 치역이 같은 대응입니다. 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 일대일 대응에서는 집합 X와 Y의 원소 수가 같아야 합니다. 집합 X와 Y 모두 세개의 원소가 있다고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 3개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 3가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 2개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 3x2x1 일반화시켜봅시다. 집합 X와 Y의 원소 수를 n개라고 합시다. x의 첫번째 원소인 x1에는 n개의 선택권, x2는.. 2020. 10. 6.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (11) 일대일 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(11)일대일 함수의 개수] 일대일 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 5개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 일대일 함수의 개수를 구해봅시다. 일대일 함수는 X의 함수값이 전부 서로 다른 함수를 말합니다. x의 첫번째 원소인 x1에는 5개의 y가 대응될 수 있습니다. 동시에 대응된다는게 아니라 5가지 선택권이 있다는 것입니다. x1에 y중 하나가 대응되면, x2는 4개의 선택권을 가집니다. 따라서 함수의 개수는 아래와 같습니다. 함수의 개수 = 5x4x3 y의 원소가 x보다 많을 때만 일대일함수가 가능합니다. y가 적다면, x의 함수값이 전부 서로 다르게 할 수.. 2020. 9. 29.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (10) 함수의 개수 [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[①함수와 그래프]-[(10)함수의 개수] 함수의 개수 집합 X와 집합 Y 사이에 함수 f가 있다고 합시다. 집합 X에는 3개의 원소가 있습니다. 집합 Y에는 2개의 원소가 있습니다. 집합 X에서 Y로의 함수의 개수를 구해봅시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 두개에 대응할 수 있으므로, 2의 3제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2³ 일반화시켜봅시다. 집합 X의 원소 수를 n개, Y의 원소 수를 m개 라고 합시다. 집합 X의 원소 각각 Y의 원소 m개에 대응할수 있으므로, m의 n제곱 개의 함수가 가능합니다. 함수의 개수 : 2020. 9. 22.

[모듈식 수학 (하)] 3. 경우의 수 (1) 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요? [수학(하)]-[3.경우의 수]-[①경우의 수]-[(1) 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요?] 사건이 뭔가요? 경우의 수가 뭔가요? 사건event 이 무엇인지 알아봅시다. 여기서 등장하는 사건은 확률이론probability theory에서의 '사건'입니다. 위키피디아의 내용을 그대로 가져오면 이렇습니다. In probability theory, an event is a set of outcomes of an experiment (a subset of the sample space) to which a probability is assigned. 사건은 확률이 할당된 어떤 실험의 결과라고 되어있습니다. 여기서 실험experiment 는 과학시간에 하는 물리나 화학실험이 아니라 '시험삼아 해보는 것'을 의.. 2019. 7. 4.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (9) 상수함수 상수함수 상수함수는 모든 정의역이 같은 함수값을 갖는 함수입니다. 이름이 상수함수인 이유는 함수식이 아래와 같기 때문입니다. 그림으로 표현하면 이렇습니다. 그래프로도 표현해봅시다. 이때는 정의역과 공역이 모든 실수라는 조건이 필요합니다. 2019. 7. 4.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (8) 항등함수 항등함수 항등함수는 자기 자신을 함수값으로 같는 함수입니다. 함수의 형태는 입니다. 항등함수는 일대일 함수입니다. 정의역의 원소가 서로 다를 경우, 함수 값도 항상 다르기 때문입니다. 그렇다면 항등함수는 일대일 대응이기도 할까요? 그렇습니다. 정의에 의해 그렇습니다. 항등함수의 정의는 다음과 같습니다. "어떤 집합을 정의역과 공역으로 하고, 이 집합의 모든 원소에 대하여 f(x)=x 인 함수" 정의역과 공역이 같다는 조건이 있습니다. 일대일함수이면서 정의역과 공역이 같다면, 공역과 치역도 같아진다. 따라서 항등함수는 일대일 대응입니다. 그렇다면 위 그림을 수정해주어야 겠죠? 그래프로도 표현해봅시다. 이때는 정의역과 공역이 모든 실수라는 조건이 필요합시다. 2019. 6. 26.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (7) 일대일함수와 일대일대응(미팅 예시) 일대일함수와 일대일대응(미팅 예시) 쉽게 설명해보겠습니다. 대학에 입학해서 모 여대와 소개팅을 나간 적이 있습니다. 저희쪽에서는 저와 친구둘, 총 세명이 나갔습니다. 모 여대에서는 다섯명의 여성분이 나왔습니다. 소개를 하고, 이런저런 대화를 나누다가 남자쪽에서 마음에 드는 상대앞에 핸드폰을 놓고, 여자쪽에서 마음에 드는 남자가 있으면 핸드폰을 고르기로 했습니다. 신기하게도 저와 친구들은 각자 취향이 달랐고, 각각 상대 앞에 핸드폰을 놓았습니다. 자, 이 상황이 일대일 함수입니다. 지금까지의 상황을 그림으로 보여드리겠습니다. 2번과 5번 여대생은 선택을 받지 못했습니다. 마음이 상한 둘이 집으로 가버렸어요. 그림은 아래처럼 변합니다. 이 상황이 일대일대응입니다. 정리해봅시다. 일대일 함수는, 정의역인 x값.. 2019. 6. 14.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (6) 함수의 그래프 함수의 그래프 그래프라고 하면 어떤 모양을 갖는 이미지를 떠올리기 쉽상입니다. 하지만 함수의 그래프는 어떤 이미지를 의미하지 않습니다. 함수의 그래프는 '순서쌍의 집합'입니다. 더 정확히 말하면 정의역 x와 그에 대응하는 함수값 f(x)의 순서쌍 (x,f(x)) 전체의 집합을 함수 f의 그래프 라고 합니다. 따라서 함수의 조건을 만족한다면 이런 순서쌍도 그래프가 될 수 있습니다. (a,사과) (b,바나나) (c, 수박) 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 우리가 흔히 알고 있는 '그래프'는 함수의 그래프를 좌표평면에 나타낸 것입니다. 좌표평면에 그려진 함수의 그래프는 점이 될 수도 있고, 직선이 될 수도 있고, 곡선이 될 수도 있습니다. 만약 함수 y=f(x)의 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이라면 함수.. 2019. 5. 30.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (5) 함수가 서로 같다는 것... 함수가 서로 같다는 것... 두 함수가 서로 같다는게 무엇일까요. 정의역만 같으면 두 함수를 같다고 할 수 있을까요? 아래 두 함수를 봅시다. 정의역만 같은 함수인데, 서로 같나요? 누가봐도 다릅니다. 이번에는 공역을 같게 만들어봅시다. 함수가 같나요? 다르죠? 그럼 이번에는 치역을 같게 만들어 봅시다. 치역이 같아져도 함수는 다르죠? 함수를 같게 만들어 봅시다. 무엇이 같아졌죠? 함수값이 같아졌습니다. 두 함수가 같다는 것은 정의역과 공역이 같고, 함수값이 같다는 것입니다. 함수값이 같다면 치역은 저저로 같아집니다. 2019. 5. 28.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (4) 함숫값과 치역 함숫값과 치역 두 집합 X와 Y가 있다고 해봅시다. X에서 Y로의 함수를 f라고 하겠습니다. 이 함수를 아래와 같은 기호로 나타낼 수도 있습니다. 이 대응에서 화살표가 출발하는 쪽의 집합을 '정의역', 화살표가 도착하는 쪽의 집합을 '공역'이라고 했었습니다. 아래와 같은 함수가 있다고 해봅시다. 정의역의 원소 중 1에 대응되는 공역의 원소가 a일때, 그리고 그 관계가 함수 f로 정의될 때 아래와 같은 기호로 나타냅니다. 다른 원소들의 대응도 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 값들을 함수값이라고 합니다. 예를들어 a는 정의역의 원소 1의 함수값인 것입니다. 위 대응을 보면, 공역 a,b,c,d 중에서 정의역에 대응되는 함수값은 a,c,d 임을 알 수 있습니다. 이 함수값 전체의 집합을 '치역'이라고 합.. 2019. 5. 27.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (3) 정의역, 공역 정의역, 공역 두 집합 X와 Y가 있고, X에서 Y로의 함수 f가 있다고 해봅시다. 이때, 가는 쪽인 집합 X를 정의역, 받는 쪽인 집합 Y를 공역이라고 합니다. 2019. 5. 23.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (2) 함수의 정의 함수의 정의 두 집합 X와 Y가 있다고 해봅시다. X의 원소를 Y의 원소에 대응시켜봅시다. 다양한 방법으로 대응시킬 수 있을 것입니다. 이 대응 중 특정 조건을 만족하는 대응이 '함수'입니다. 이 조건에 대해 알아봅시다. - X의 모든 원소가 Y의 원소에 대응됨.- X의 원소는 오직 하나의 Y의 원소에만 대응됨. 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 합니다. 이 함수에 이름을 붙일 수도 있는데요. 이름을 f라고 하면 아래와 같이 기호로도 나타낼 수 있습니다. 이번에는 함수인 예와 함수가 아니 대응의 예들을 살펴봅시다. 2019. 5. 21.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (1) 대응이란? 대응이란? 한 집합의 원소와 다른 집합의 원소 사이에서 사용하는 말입니다. 아래와 같이 집합 A와 집합 B가 있다고 해봅시다. A = {정훈,지혁,창재,민철}B = {지희,지연,희정,민지} 남자 네사람이 아래와 같이 호감을 갖고 있습니다. 정훈→지희지혁→지연창재→희정민철→민지 위와 같이 A집합의 원소를 B집합의 원소와 짝짓는 것을 대응이라고 합니다. 기호로도 위와 같이 나타냅니다. 시간이 흘러 호감관계를 다시 확인했더니 아래와 같았습니다. 지내보니 지희만한 여자가 없었습니다. 정훈→지희지혁→지희창재→지희민철→지희 이런 관계도 대응입니다. 또 시간이 흘러 확인했더니 아래와 같았습니다. 창재와 민철은 아무도 좋아하지 않게 되었습니다. 이것도 대응입니다. 정훈→지희지혁→지연 대응은 원소와 원소 사이의 관계를 .. 2019. 5. 16.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (48) 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식 코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다. 실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다. 증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다. 정리합시다. 완전제곱식으로 정리됩니다. 위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 .. 2019. 5. 7.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (47) 산술,기하,조화평균의 대소관계 산술,기하,조화평균의 대소관계를 이용한 절대부등식 지난시간에 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)을 배웠습니다. 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라고 하겠습니다. n개의 수에 대한 각각의 평균을 써봅시다. 이러한 평균들의 대소관계를 비교해볼 것입니다. 간단한 상황에서 살펴보기 위해 수가 2개인 경우 부터 시작하겠습니다. 또한 수의 범위를 양수로 제한하겠습니다. 음수를 포함하게 되면 대소관계를 정의할 수 없기 때문입니다. 먼저 산술평균과 기하평균을 비교해봅시다. 산술평균에서 기하평균을 뺴봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 기하평균을 오른쪽 항으로 넘기고 2를 곱한 뒤에 제곱합니다. 우변을 좌변으.. 2019. 5. 2.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (46) 산술,기하,조화평균 무엇인가 산술,기하,조화평균 무엇인가 평균에는 세가지가 있습니다. 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)입니다. 우리가 흔히 알고 있는 평균은 산술평균입니다. 예를들면 시험점수의 평균을 구할 때 사용합니다. 수학이 90점, 영어가 100점이면 평균이 95점입니다. 이때의 평균이 산술평균입니다. 그런데 산술평균만으로는 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 2년 전에 제 연봉이 A원이었다고 해봅시다. 작년에는 2배가 올랐구요. 올해는 다시 3배가 올랐습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 2년전 : A원1년전 : 2A원올해 : 6A원 매년 평균 몇배가 오른 것일까요? 두배, 그리고 6배가 올랐으니까. 산술평균으로 계산하면 4배입니다. 매년 4.. 2019. 4. 29.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (45) 대표적인 절대 부등식들 대표적인 절대 부등식들 알아두면 좋은 절대부등식들을 알아봅시다. 1) 좌변은 아래와 같은 완전제곱식으로 바꿀 수 있습니다. 완전제곱식은 항상 0보다 같거나 큽니다. 등호는 언제 성립할까요? 에서는 a가 -b일때, 에서는 a가 b일때 성립합니다. 2) 이번 식은 좀 어렵습니다. 변형 방법을 알아야 증명이 가능한데 변형 방법이 쉽게 생각할 수 있는 방법이 아닙니다. 이번 기회에 알고 넘어간다는 생각으로 배워봅시다. 먼저 양변에 2를 곱해줍니다. 그리고 나서 아래와 같이 완전제곱식으로 만들 수 있는 항끼리 모아줍니다. 완전제곱식으로 묶을 수 있는 식들이 보이시죠? 묶어봅시다. 등호는 언제 성립할까요? a=b=c 일 때 성립합니다. 3) 3번의 절대부등식은 a,b,c가 모두 양수일 때 성립합니다. a,b,c가 .. 2019. 4. 21.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (44) 절대부등식 무엇인가 절대부등식 무엇인가 절대부등식은 영어로 absolute inequality 입니다. absolute 는 '제한이 없는' '절대적인' 이라는 뜻인데요. 여기서는 '제한이 없는'이라는 뜻이 더 적당해 보입니다. 절대부등식이 바로 해의 제한이 없는 부등식이기 때문입니다. 모든 x값에 대해서 성립하는 부등식이 바로 절대부등식입니다(x값에 양수 등의 조건이 주어질 수는 있습니다). 절대부등식 하나를 예로 들어보겠습니다. x에 알고 있는 아무 실수나 넣어보세요. 아마 성립할 것입니다. 모든 실수 x에 대해서 부등식이 성립합니다. 변수가 꼭 하나일 필요는 없습니다. 아래와 같은 절대부등식도 가능합니다. 모든 실수 x와 y에 대해 성립합니다. 2019. 4. 18.

[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 수 또는 두 식의 대소비교 두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. A-B>0 이면 A>B이다. 이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. .. 2019. 4. 16.

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