반응형 수학(하)102 [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (12) 전체집합과 여집합 전체집합과 여집합 우리가 다루려는 대상 전체를 포함하는 집합을 '전체집합'이라고 합니다. 전체집합은 상대적인 개념입니다. 만약 우리가 집합 {1,2,3,4,5} 만을 다루고자 한다면 이 집합이 전체집합이 되는 것입니다. 전체집합은 기호로 U라고 나타냅니다. 여집합은 전체집합에서 어떤 집합을 제외한 나머지 부분을 뜻합니다. 전체집합을 U라고 하고 어떤 집합을 A라고 한다면 전체집합 U에서 A를 제외한 나머지 부분을 A의 여집합이라고 합니다. 기호로는 로 나타냅니다. 실제 예를 들어봅시다. 전체집합 U와 집합 A가 있습니다. A의 여집합을 구해봅시다. 겹친다고 두번 쓰지는 않습니다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'.. 2018. 11. 27. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (11) 합집합의 성질 합집합의 성질 합집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 어렵지 않은 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면, A ∪ B = B 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 둘을 합하면 B가 됩니다. 2) A ∪ B = B 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 합집합을 구했더니 B가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∪ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 어떤 집합에도 포함됩니다. 4) Φ ∪ Φ = Φ 이다. 당연하겠죠^^ 5) A ⊂ (A ∪ B) , B ⊂ (A ∪ B)이다. A.. 2018. 11. 27. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (10) 합집합 합집합 합집합은 두 집합을 합친 것입니다. 원소의 입장에서 본다면 A와 B중 적어도 하나에 포함되는(A 또는 B에 포함되는) 원소들을 추린 것이죠. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같습니다. 기호로는 이렇게 나타냅니다. A 합집합 B라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 합집합을 구해봅시다. 겹친다고 두번 쓰지는 않습니다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? or 대신 '또는'이라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (9) 교집합의 성질 교집합의 성질 교집합에서 성립하는 몇가지 성질이 있습니다. 얼마든지 생각해낼 수 있는 간단한 성질들입니다. 하나씩 알아봅시다. 1) A ⊂ B 이면 A ∩ B = A 이다. A가 B에 포함된다면, A가 B 안에 들어가 있는 모양입니다. 당연히 A와 B의 겹치는 부분은 A겠지요. 2) A ∩ B = A 이면 A ⊂ B 이다. 1번 성질의 '역'입니다. 어떤 명제가 성립한다고 역이 반드시 성립하지는 않습니다. 이 경우는 성립하네요. A와 B의 교집합을 구했더니 A가 나왔습니다. 이런 결과가 나오는 경우는 A가 B에 포함된는 경우 밖에는 없습니다. 3) A ∩ Φ = Φ 이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. 따라서 어떤 집합과 공집합의 교집합을 구하면 공집합이 됩니다. 4) A ∩ A = A 이다. 당.. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (8) 교집합 교집합 교집합은 교차되는 집합을 의미한다. 두 집합이 있으면 두 집합이 겹치는 부분이다. 원소의 입장에서 본다면 집합 A와 집합 B에 동시에 포함되는(A 그리고 B에 포함되는) 원소들을 추린 것입니다. 벤 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다. 기호로는 이렇게 나타냅니ㅁ다. A 교집합 B 라고 부릅니다. A교집합 B라고 부릅니다. 실제 예를 들어봅시다. 집합 A와 B가 있습니다. 교집합을 구해봅시다. 우리가 방금 집합을 나타낸 방법은 '원소나열법'입니다. 만약 '조건제시법'으로 나타내면 어떻게 될까요? and 대신 '그리고'라고 써도 됩니다. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (7) 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수 + 특정한 원소 부분집합의 개수를 구하다 보면 이런 의문이 듭니다. 만약 어떤 원소를 반드시 포함하도록 한다면 부분집합의 개수는 어떻게 될까. 오늘날 우리들은 이런 의문을 가질 새 없이 지식을 계속 습득해야 하지만 돈 많고 시간 많고 호기심 많던 옛사람들은 이런 의문도 가졌을 거에요. 말로만 설명해볼테니 한번 이해해봅시다. 상상력을 동원해서 우리 뇌를 성장시켜보죠. 어떤 집합 A가 있다고 해봅시다. A의 원소는 n개입니다. A의 부분집합의 개수는 입니다. 지난시간에 배웠습니다. A의 원수 n개 중에서 특정한 원소 k개를 반드시 포함하고 싶은 상황입니다. 좋은 아이디어가 있습니다. 먼저 k개의 원소를 빼놓겠습니다. 그럼 A의 원소는 n-k개가 됩니다. n-k개의 원소로 만들 수 있는 부분집.. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (6) 부분집합의 개수 부분집합의 개수 부분집합의 개수를 구해봅시다. 원소의 개수가 많지 않은 집합에서 먼저 구해보고 일반화시키도록 합시다. 아래와 같은 집합이 하나 있습니다. 집합 A의 부분집합을 구해봅시다. 몇개죠? 8개입니다. 원소의 개수가 많지 않아서 셀 수 있었지만 원소 개수가 10개면 어떨까요. 어느 세월에 세고 있을까요. 일반화시켜야 할 필요를 느낍니다. 원소의 개수가 n일 때 부분집합의 개수를 유도해봅시다. 나중에 조합을 배우면 쉽게 유도할 수 있는데, 지금은 조합을 모르는 상황입니다. 불편하지만 수형도를 이용해서 유도하겠습니다. 수형도가 뭐야? 라는 의문이 드는 분들도 어려운 개념이 아니니 보면 알게되실겁니다. 위에서 정의했던 집합 A의 부분집합을 수형도로 구해보겠습니다. 오른쪽으로 갈 수록 개수가 두배가 되는.. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (5) 서로 같은 집합, 진부분집합 서로 같은 집합, 진부분집합 두 집합이 서로 같으려면 어떤 조건이 필요할까요. 두 집합의 원소가 모두 같아야 합니다. 이때 두 집합을 서로 같다고 합니다. 두 집합이 서로 같다는 것을 조금 더 복잡하게 표현할 수도 있습니다. A가 B에 포함되고, 반대로 B도 A에 포함된다면 어떨까요. 서로가 서로를 포함하는 상황은 두 집합이 같아야만 가능합니다. 집합 A와 A의 부분집합에 대해서 생각해 봅시다. 집합 A의 부분집합 중에는 자기자신도 포함됩니다. 부분집합에서 자기 자신을 제외한다면, 진짜 '부분'이라고 말할 수 있는 집합만 남습니다. 이 집합을 진부분집합이라고 합니다. A의 진부분집합이 B라면 아래와 같은 조건이 성립합니다. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (4) 부분집합의 정의, 개수, 합 부분집합의 정의, 개수, 합 집합 A와 B가 있다고 해봅시다. 만약 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있을 때, B를 A의 부분집합이라고 합니다. 집합 A는 B를 포함한다고 말합니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 부분집합에서 기억해야할 두 가지 성질이 있습니다. 첫번째 성질은 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 것입니다. 아무것도 없는 것은 무언가 있는 것의 부분이라는 것이죠. 직관적으로 이해가 되지 않아도 됩니다. 약속이니까 기억하시면 되요. 두번째 성질은 모든 집합이 자기 자신의 부분집합이라는 것입니다. 설명이 필요없이 이해되실거라 생각합니다. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (3) 원소의 개수를 나타내는 방법 원소의 개수를 나타내는 방법 유한집합의 원소의 개수를 나타내는 방법에 대해 알아봅시다. 무한집합은 원소의 개수를 셀 수 없기 때문에 나타낼 수도 없습니다. 집합 A의 원소의 개수는 아래와 같이 나타냅니다. 원소의 개수는 5개로 하겠습니다. n과 괄호( )는 the number of 라고 생각하시면 됩니다. n(A)는 the number of A 입니다. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (2) 유한, 무한, 공집합 유한, 무한, 공집합 집합은 원소의 개수에 따라 두가지로 나뉩니다. 원소의 개수를 셀 수 있는 '유한집합'과 원소의 개수가 무한히 많은 '무한집합'입니다. 유한집합을 예로 들면 10보다 작은 자연수의 집합이 있구요. 무한집합은 짝수의 집합이 있습니다. 유한집합 중에서 원소가 하나도 없는 집합은 따로 이름을 붙어주었습니다. 바로 공집합 입니다. 공집합은 기호도 있습니다. 아래와 같은 기호를 사용합니다. 헷갈릴 수 있는 트릭?이 하나 있어 소개합니다. 아래 집합은 공집합일까요. 아닐까요. 공집합이 Φ 라는 기호를 원소로 갖는 집합입니다. 원소가 1개인 집합인 것이죠. 2018. 11. 26. [모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (1) 집합과 원소, 집합의 표현 집합과 원소, 집합의 표현 집합은 '모임'입니다. 모든 모임이 집합은 아닙니다. 어떤 모임에 속하는지 아닌지를 구별할 수 있는 정확한 '기준'이 있어야 집합이 될 수 있습니다. 예를들어 목소리가 큰 사람들의 모임은 집합이 아닙니다. 사람마다 기준이 다를 수 있기 때문입니다. 고양이들의 모임은 집합입니다. 집합에 속하는 모든 대상을 원소라고 합니다. 10보다 작은 짝수의 집합을 A라고 한다면 집합 A의 원소는 2,4,6,8이 있습니다. 원소는 집합에 속한다고 표현합니다. 2는 집합 A에 속합니다. 이를 기호로도 나타낼 수 있습니다. 1은 집합 A에 속하지 않습니다. 이것도 기호로 나타낼 수 있습니다 . 집합을 표현하는 방법은 세 가지가 있습니다. 원소나열법, 조건제시법, 벤다이어그램 입니다. 원소나열법은 .. 2018. 11. 26. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
