[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (43) 두 수 또는 두 식의 대소비교

두 수 또는 두 식의 대소비교

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두 식(또는 두 수)의 크기를 비교하는 방법은 세가지가 있습니다. 먼저 두 식이 0보다 크건, 같건, 작건 상관 없이 사용할 수 있는 방법입니다. 두 식을 서로 뺀 뒤 0과 비교해주면 됩니다. 두 식 A와 B가 있다고 해봅시다. 식 A에서 B를 뺐더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. 

A-B>0 이면 A>B이다. 

이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 

아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 

두번째 방법은 두 식이 양수인 경우에만 성립합니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. 두 식을 제곱하여 과 을 얻었습니다. 에서 을 뻈더니 0보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. 

A>0, B>0 일때, 이면 A>B이다. 

이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 

A>0, B>0 일때, 

왜 0보다 크다는 조건이 필요할까요? 0보다 작은 경우 반례가 존재합니다. 두 수가 2와 -3이라고 해봅시다. 제곱하면 4와 9가 되기 때문에 위 명제를 적용하면 -3이 2보다 크다는 결론이 나옵니다. 이는 거짓인 반례입니다. 따라서 A 또는 B가 0보다 작은 경우 위 명제가 성립하지 않습니다. 

마지막 세번째 방법입니다. 두 식 A와 B가 있고, 두 식 모두 0보다 크다고 해봅시다. A를 B로 나눠주었더니 1보다 컸습니다. 식 A와 B중 어느 식이 큰 것일까요. 식 A입니다. 방금 설명한 상황을 명제로 나타내봅시다. 

A>0, B>0 일때, 이면 A>B이다. 

이 명제의 역도 성립합니다. 기호만으로 나타내면 아래와 같습니다. 

A>0, B>0 일때, 

아래 명제들도 동일하게 성립합니다. 

A>0, B>0 일때, 

A>0, B>0 일때, 

왜 0보다 크다는 조건이 필요할까요? 0보다 작은 경우 반례가 존재합니다. 두 수가 2와 -3이라고 해봅시다. 2를 -3으로 나누면 2/-3이 1보다 작으므로 -3이 2보다 크다는 결론이 나옵니다. 이는 거짓인 반례입니다. 따라서 A 또는 B가 0보다 작은 경우 위 명제가 성립하지 않습니다.