[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제(19) 원소의 개수 - 합집합

원소의 개수 - 합집합

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이런 상황을 가정해 봅시다. 집합 A와 B가 있구요. 우리는 집합 A의 원소 개수, 집합 B의 원소 개수, 집합 A와 B의 교집합의 원소 개수를 알고 있습니다.  

<알고 있는 정보>

이 정보들로 합집합을 구해야하는 상황입니다. 집합 A와 B의 합집합을 상상해봅시다. A와 B가 합쳐질 때 A와 B중 한쪽은 교집합 만큼을 떼어내야 합니다. 머리속에 집합 A와 B를 떠올립시다. 이제 교집합 부분을 B에서 떼어냅시다. 이제 B는 한입 베어문 사과처럼 한쪽이 파여 있습니다. B를 A와 붙이게 되면 A와 B의 합집합이 됩니다. 이 과정을 식으로 나타내 봅시다.

이제 우리는 합집합의 원소의 개수를 구할 수 있게 되었습니다. 

이번에는 상황을 좀 더 복잡하게 만들어봅시다. 집합 A,B,C 가 있습니다. 셋다 서로 겹치는 부분(교집합)이 존재하는 상황입니다. 아래 정보를 알고 있습니다.

이 정보들로 합집합의 원소의 개수를 구해봅시다. 먼저 세 집합의 원소의 개수를 다 더합니다. 

중복해서 더해지는 부분이 있죠? 세 집합의 벤다이어그램을 상상해본다면 겹치는 부분입니다. 이 부분을 빼줍니다. 

두 집합이 겹치는 부분을 한번씩 빼준 것입니다. 그런데 문제가 있습니다. 세집합이 모두 겹치는 부분을 세번 빼줬기 때문에 벤다이어그램의 가운데가 비어있게 됩니다. 따라서 세 집합의 교집합을 한번 더해줘야 합니다. 

세 집합의 합집합의 원소의 개수를 구하면 아래와 같습니다.