반응형 etc123 e 의 수렴성 증명 (1편) 단조 수렴 정리 자연상수 e는 아래와 같은 극한으로 표현되는 값입니다. $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ 우리는 이 극한이 어떤 무리수로 수렴하며, 그 무리수를 e 라고 부르기고 했다는 것을 알고 있습니다. 하지만 정말 위 극한이 수렴하는지 한번 쯤 확인해 볼 필요는 있습니다. 수렴성을 증명하기 전에, 수렴성 증명에 사용되는 재료 하나를 먼저 설명하겠습니다. 단조수렴정리 라는 것인데요. 단조수열이 수렴할 조건에 대한 정리입니다. 말이 어려운데요. 최대한 쉬운 말로 설명해보겠습니다. 단조수열은 두 가지가 있습니다. 단조증가수열과, 단조감소수열인데요. 단조증가수열은 $a_{n} \leq a_{n+1}$ 이구요. 이름 그대로 단조증가수열은 증가하는 .. 2022. 11. 7. 조화수열에는 왜 '조화'라는 이름이 붙었을까 역수를 취하면 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 부릅니다. 예를들면 등차수열 2,5,8 의 역수를 취한 수열 $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}$ 이 조화수열입니다. 그런데 왜 이런 수열에 조화수열이라는 이름이 붙었을까요. 그 이유를 지금부터 알아봅시다. 그리스의 철학자 피타고라스는 음악에도 관심이 많았습니다. 피타고라스는 기타 줄과 같은 줄을 튕기며 소리를 내다가 이런 두가지 원리를 발견하게 됩니다. 1. 현의 길이를 반으로 줄이면 원래 나던 소리보다 음이 높고 비슷한 소리가 난다. 2. 현의 길이를 2/3 으로 줄여 튕기면 원래 나던 소리보다 음이 높고 잘 어울리는 소리가 난다. 첫번째 원리는 옥타브 입니다. 도를 예로들면 도와 한옥타브 높은 도는 비슷한 소리가 .. 2022. 11. 6. [수학 퀴즈] 빈칸에 들어갈 숫자는? 안녕하세요. 수학의본질입니다. 오늘은 수학 퀴즈를 하나 가져왔습니다. 앞에 보이시는 그림의 빈칸에 알맞는 숫자를 맞추시면 됩니다. 정답을 바로 말씀드릴 것이라, 문제를 풀고싶은 분들은 잠깐 영상을 멈추고 풀어보시면 됩니다. 정답은 영상에 나옵니다. 2022. 11. 4. 이걸 왜 기하평균이라고 부르는걸까 이것은 a와 c의 기하평균입니다. $\sqrt{ac}$ 기하는 도형을 연구하는 학문인데요. 따라서 기하평균은 도형과 관련되어 있습니다. 지금부터 그 예시를 알아보겠습니다. 아래 직사각형을 봅시다. 위 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이가 a와 c의 기하평균입니다. 등식으로 나타내면 아래와 같습니다. $ac=b^2$ b에 대해 정리하면 아래와 같습니다. $b=\sqrt{ac}$ 기하평균이 어떤 상황에서 사용되는지 알아봅시다. 작년에 연봉이 10배 오르고, 올해 20배 올랐다고 합시다. 연봉은 연 평균 몇배가 오른 것일까요? 산술평균으로 계산하면 15배 인데요. 산술평균으로 계산하면 어떤일이 벌어지는지 알아봅시다. 제작년 연봉을 a라고 한다면 현재 연봉은 아래와 같습니다. $a \times 10.. 2022. 11. 1. 등차수열을 '산술수열', 등비수열을 '기하수열'이라고 부르는 이유 세 수 a,b,c 가 등차수열을 이루고 있다고 합시다. 등차수열을 차이가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $b-a=c-b$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b=\frac{a+c}{2}$ b는 a와 c의 산술평균입니다. 등차수열에서 나란한 세 항 중에서 가운데 항은 양쪽 항의 산술평균입니다. 이러한 이유로 등차수열을 산술수열이라고도 부릅니다. 이번에는 세 수 a,b,c가 등비수열을 이루고 있다고 합시다. 등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b^{2}=ac$ 세 수가 양수라고 가정하고 양변에 루트를 씌웁시다. $b=\sqrt{ac}$ b는 a와 c의 기하평.. 2022. 11. 1. e^x 는 어디에 쓰일까? (지수함수적 증가는 언제 생기는걸까?) 지난 두편의 영상은 지수함수적 변화가 일어나는 두 가지 상황을 살펴본 것입니다. 지수함수적 변화는 어떤 수량의 변화 속도가, 현재 수량에 비례하는 경우에 발생합니다. 이 말을 수식으로 나타낸 것이 아래 미분방정식인 것입니다. $f'(t)=kf(t)$ 지수함수적 변화가 무엇인지 더 잘 이해할 수 있도록 우리에게 더 와닿는 예시를 몇가지 더 들어보겠습니다. 1) 만약 돈이 벌리는 속도가 현재 가지고 있는 돈의 양에 비례한다면 돈은 지수함수적으로 많아질 것입니다. 2) 인구가 증가하는 속도가 현재 인구 수에 비례한다면, 인구도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 3) 코로나 환자 증가 속도가 현재 코로나 걸린 사람 수에 비례한다면 코로나 환자 숫자도 지수함수적으로 증가할 것입니다. 지수함수적 증가가 발생하는 상황.. 2022. 10. 29. e^x 는 어디에 쓰일까? (뉴튼의 냉각법칙) 따듯한 물체를 차가운 곳에 놓으면 물체의 온도가 점점 낮아집니다. 물체가 열을 잃는 것인데요. 어떤 물체가 열을 잃는 속도는 물체와 주변환경의 온도 차이에 비례합니다. 이러한 사실을 뉴턴의 냉각법칙이라고 부릅니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\frac{dT}{dt}=r\left ( T(t)-T_{env} \right )$ $T(t)$는 물체의 온도, $T_{env}$는 주변 온도, r은 열전달 계수입니다. 주변온도는 특정 값으로 일정하다고 가정합니다. 위 식을 아래와 같이 변형합니다. $T'(t)=r\left (T(t)- T_{env} \right )$ 아래와 같이 변형합니다. $\frac{T'(t)}{\left ( T(t)-T_{env} \right )}=r$ 양변을 t에 대해 적분합니다. .. 2022. 10. 28. e^x 는 어디에 쓰일까? (탄소 연대측정법) 탄소는 양성자6개, 중성자 6개로 이루어진 원자라고 배웠습니다. 이를 탄소-12 라고 부릅니다. 그런데 이런 탄소는 98.89% 입니다. 나머지 1.11%는 탄소의 동위원소입니다. 동위원소는 양성자의 개수는 같고 중성자의 개수가 다른 원소입니다. 양성자는 6개인데 중성자는 7개인 탄소를 탄소-13이라고 부릅니다. 양성자는 6개인데 중성자는 8개인 탄소는 무엇일까요? 탄소-14 입니다. 대기중의 탄소-12 와 탄소-14 의 비율은 일정하게 유지된다고 합니다. 생물 내에 있는 탄소-12 와 탄소-14 의 비율도 대기중과 거의 일치합니다. 생물이 죽게 되면, 생물체 내의 탄소-12는 그대로 있고, 탄소-14가 붕괴하기 시작합니다. 죽은 생물에서 탄소-14가 붕괴하면 죽은 생물 내의 탄소-12와 탄소-14 비율.. 2022. 10. 25. e를 찾아라 (지수의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 지수함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 지수함수가 있습니다. $y=a^x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 지수함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합시다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}\left ( a^h-1 \right )}{h}$ 아래와 같이 치환합니.. 2022. 10. 24. e를 찾아라 (로그의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. $y=\log_{a}x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h.. 2022. 10. 22. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 4편 좀 멋진? 신기한? 증명 방법 미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 $y=e^x$ 밖에 없다는 것을 재밌는 방법으로 증명해보겠습니다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $f(x)$ 라고 한다면 $f(x)=f'(x)$ 가 성립합니다. $f(x)$를 $e^x$로 나눠줍니다. $\frac{f(x)}{e^x}$ 위 식을 x로 미분합니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{f'(x)e^x-e^x f(x)}{\left ( e^x \right )^2}$ 분자를 $e^x$로 묶어줍니다. $\left ( \frac{f(x)}{e^x} \right )'=\frac{e^x\left ( f'(x)- f(x) \right )}{\left ( e^x \right )^2}$ f'(x)-f(x.. 2022. 10. 21. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 3편 우리는 지금까지 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 유도했습니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $y'=y$ 라는 미분방정식의 해입니다. $y=y'$ 을 아래와 같이 변형했습니다. $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변을 나누고 dx를 양변에 곱했습니다. 1번 과정이라고 놓겠습니다. $\frac{1}{y}dy=dx$ 양변을 적분합니다. $\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$ 적분을 계산합니다. $\ln \left | y \right |=x+C$ 로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. $y=\pm e^x e^c$ 여기서 1번 과정을 보면 dy와 dy를 마치 숫자인 것처럼 각각 분리해서 사용하고 있습니다. 2번과정에서는 dx와 dy가 갑자기 적분상수가 됩니다. 이래도 되는 것.. 2022. 10. 20. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 2편 지난시간에 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 $Ae^x$ 임을 보인 과정을 간단히 가져왔습니다. $y=f(x)$ $f'(x)=f(x)$ $y'=y$ $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변 나눔 $\frac{1}{y}dy=dx$ 적분취함 $\int \frac{1}{y}dy=\int dx$ 적분 계산 $\ln\left | y \right |=x+C$ 변형 $\left | y \right |=e^{x+C}$ 절댓값 풀어줌 $y=\pm e^{x+C}$ 변형 $y=\pm e^{C}e^{x}$ 치환 $y=Ae^{x}$ 위 수식에서 y로 양변을 나눠주는데요. y로 양변을 나누기 위해서는 한가지 조건이 필요한데, y가 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 따라서 위 수식은 y가 0이 아니라는 전제로 유도된 수식입니다... 2022. 10. 15. 대수학은 왜 알제브라(algebra) 일까 기원 후 820년경에 페르시아의 수학자 '아부 압둘라 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미'가 책을 하나 씁니다. 페르시아 최초의 수학책이었습니다. 책이름은 '알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라' 였는데 방정식의 풀이를 다룬 책이었습니다. 여기서 알자브르는 الجبر 인데 '흩어진 부분들을 묶음' 이라는 뜻입니다. 방정식을 풀 때 항들을 묶는 다는 의미로 사용되었습니다. 고전적인 의미의 대수학이란 수 대신 문자를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 말합니다. 따라서 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라는 대수학의 시초격인 책입니다. 이런 이유로 이 책 제목에 등장하는 단어인 알자브르가 오늘날 대수학을 의미하는 단어인 algebra 된 것입니다. 또한 오늘날 쓰이는 알고리즘이라는 표현도 위 책의 저.. 2022. 10. 13. 수학선생님들은 어떤 시험을 본걸까 (임용고시 과목) 임용고시는 1차시험과 2차시험이 있습니다. 1차시험에서는 교육학과 전공과목시험을 봅니다. 2차시험에서는 면접과 수업실연을 합니다. 수학선생님이 통과하신 임용고시의 수학전공과목들은 아래와 같습니다. 수학교육론 해석학 (수열, 미적분) 복소해석학 (복소평면에서의 해석학) 현대대수학 (군,환,체) 위상수학 (손잡이 달린 컵은 도넛과 같다) 선형대수학 (일차연립방정식과 그 응용) 정수론 (정수의 성질 연구, 약수 배수 등) 미분기하학 (곡선 곡면등을 미적분을 이용하여 연구) 확률과통계 이산수학 (조합론, 그래프이론. 컴공) 2022. 10. 13. 무리수는 움직인다? 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. 대표적으로는 $\pi$ , e , $\sqrt{2}$ 가 있습니다. 파이는 3.141592..... 와 같이 소숫점 이후 자릿수가 끝없이 계속됩니다. 이런 이유 때문에 마치 무리수가 어딘가로 다가가는 중인 수라고 생각하시는 경우가 있습니다. 움직이는 상태인 수라고 생각하는 겁니다. 파이는 3.14 로 시작하여 3.14159265358979... 로 어딘가를 향해 다가가는 중이라고 말이죠. 오늘 이 오해를 풀어보겠습니다. 무리수는 어딘가로 다가가는 수가 아니라 멈춰있는 수 입니다. 크기가 얼마로 딱 정해진 수인 것입니다. $\sqrt{2}$를 생각해봅시다. $\sqrt{2}$는 아래와 같이 밑변과 높이가 1인 삼각형의 대각선 길이입니다. 파이도 마찬가지입니다. 파이는.. 2022. 10. 12. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 1편 $e^x$를 미분하면 $e^x$ 입니다. 미분해도 자기 자신이 나오는 함수입니다. $e^x$ 뿐 아니라 $2e^x$ 도 미분하면 자기자신이 나오고, $3e^x$ 도 미분하면 자기 자신이 나옵니다. 따라서 $Ae^x$ 는 미분하면 자기자신이 나오는 함수라고 할 수 있습니다. 반대로 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에는 없을까요? 대답은 Yes 입니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에 없습니다. 왜 그런지 알아봅시다. 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $y=f(x)$라고 놓아봅시다. 미분해서 자기자신이 나온다면 아래 등식이 성립합니다. $f'(x)=f(x)$ y를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. $y'=y$ $y'$을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\frac{.. 2022. 10. 10. 1/x 를 적분하면 왜 ln|x| 일까 (절댓값이 왜 생길까) $\frac{1}{x}$ 를 적분하면 $\ln\left | x \right |$ 가 됩니다. 이때 왜 절댓값이 생기는 걸가요? 오늘 그 이유를 알아봅시다. $y=\ln x$ 의 미분에서 출발합시다. x 는 로그의 진수이므로 양수입니다. $y=\ln x \quad (x>0)$ 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 함수에 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{x+h-x}$ 아래와 같이 계산할 수 있습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$ 아래와 같이 변형합시다. $y'=\l.. 2022. 10. 10. 중고등학교에서 배운 기하학 vs 비유클리드기하학 우리는 중고등학교 수학시간에 기하학을 배웁니다. 기하학이라는 과목 이름이 따로 있는 것은 아니지만 우리가 배우는 과정 안에 기하학 내용이 들어 있습니다. 기하학은 점,선,면,부피를 연구하는 학문입니다. 중고등학교에서 배운 기하학은 유클리드기하학을 기반으로 합니다. 유클리드 기하학은 아래와 같은 다섯가지 공준을 따르는 기하학입니다. 공준은 공리와 비슷한 것인데, 공리는 증명이 불가능한 자명한 명제를 말합니다. 유클리드 기하학의 다섯가지 공준은 아래와 같습니다. 1. 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다. 2. 임의의 선분은 원하는 만큼 연장할 수 있다. 3. 서로 다른 두 점에서, 한 점을 중심으로 하고 두 점 사이의 거리를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. 4. 모든 직각의 크기가 같다. 다섯.. 2022. 10. 2. 라마누잔이 천재임을 증명하는 일화? 라마누잔은 인도의 전설적인 수학자입니다. 라마누잔은 인도에서 독학으로 수학을 연구하고 있었습니다. 라마누잔은 자신의 연구 내용을 케임브리지 대학교 하디에게 보냈고, 하디는 라마누잔의 천재성을 알아보고 그를 초대합니다. 이때부터 라마누잔은 하디와 함께 수학을 연구합니다. 라마누잔은 병에 걸리게 되고 병원에 입원합니다. 하디는 병문안을 하러 라마누잔을 찾아갔고, 이때 오늘 소개할 일화가 등장합니다. 하디는 자신이 타고온 택시 번호가 1729 라고 말합니다. 지루한 1729 라며 나쁜 징조가 아니었으면 좋겠다고 합니다. 라마누잔은 이렇게 대답합니다. "1729는 두 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있고, 그 방법은 두가지입니다. 상당히 재미있는 수에요. 하나는 $9^3+10^3$이고, 다른 하나는 $1^3+12^.. 2022. 9. 29. [자주 쓰는 수학공식] 삼각함수 합차 공식 $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\tan (\alpha+\beta)= \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1- \tan\alpha \tan\beta}$ $\tan (\alpha-\beta)= \frac{ \tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan\alpha .. 2022. 8. 28. 막대로 우주공간을 채우는 방법 길이가 무한한 막대가 있다고 합시다. 막대의 단면은 $1m^{2}$ 입니다. 이 막대를 정육면체 모양으로 잘게 잘라줍니다. 막대에서 정육면체 하나를 가져옵니다. 정육면체 $3^{3}-1$ 개를 더 가져와서 처음 가져온 정육면체를 둘러싸줍니다. 아래와 같이 각 변이 3m인 정육면체가 됩니다. 같은 방법으로 $5^{3}-3^{3}$개를 더 가져와서 둘러싸줍니다. 이 과정을 반복하면 모든 공간을 채울 수 있습니다. 위 문제를 알베르트 역설이라고 부릅니다. 2022. 5. 21. 감마함수에서도 재귀적 성질이 성립할까? 팩토리얼 함수는 아래와 같습니다. $f(n)=(n-1)!$ 팩토리얼에서는 아래와 같은 성질이 성립합니다. $f(n+1)=n \times f(n)$ 이런 성질을 재귀적 성질이라고 합니다. 유도는 쉽게 할 수 있습니다. $f(n+1)=n!$ $f(n+1)=n \times (n-1)!$ $f(n+1)=n \times f(n)$ 우리가 지난시간에 유도한 감마함수에서도 이런 성질이 성립할까요? 한번 확인해봅시다. 감마함수 적분형에 부분적분을 적용합니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ $\Gamma (x)=\left [ t^{x-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(x-1)t^{x-2}(-e)^{-t}dt.. 2021. 8. 20. 감마함수 유도하기 (Part2) 지난 글에서는 팩토리얼과 적분이 연결된 식을 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 오늘은 이 식을 변형해서 감마함수를 유도하겠습니다. 먼저 $e$ 를 $\frac{f}{g}$ 로 치환합시다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(\frac{f}{g}+1)(\frac{f}{g}+2)\cdots (\frac{f}{g}+n)(\frac{f}{g}+n+1)}$ 아래와 같이 우변 분모의 각 항을 통분해줍니다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{ (\frac{f+g}{g}) (\f.. 2021. 8. 17. 감마함수 유도하기 (Part1) 오늘은 팩토리얼을 실수영역으로 확장한 감마함수에 대해 배워보도록 합시다. 실수영역으로 확장하려던 시도였는데 복소수영역까지 확장되게 됩니다. 더 정확히 이야기하면 감마함수는 팩토리얼 함수를 실수 영역으로 확장한 것입니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의됩니다. $f(n)=(n-1)!$ 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분은 당시에 왈리스, 뉴튼, 스털링과 같은 수학자들이 가지고 놀고(?) 있었던 적분이라고 합니다. 먼저 이 적분을 변형해서 팩토리얼과 적분이 함께 등장하는 식으로 만들겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합시다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left.. 2021. 8. 11. 정의역의 확장 고등학교 수학 수열 단원에서는 자연수의 합 공식을 배웁니다. 아래 공식입니다. $1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 유도는 아래와 같이 하면됩니다. \begin{align} 1+2+ \dots +n&=S \\ n+\dots+2+1&=S \end{align} 각 변을 더해줍니다. $\begin{align} (n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=2S \end{align}$ 좌변의 n+1 이 n개 더해진 것이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $n(n+1)=2S$ 따라서 1부터 n까지의 자연수의 합 S는 아래와 같습니다. $S=\frac{n(n+1)}{2}$ 다시 처음 수식을 봅시다. $1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 이 수식을 보면 무슨 생각이 드시.. 2021. 8. 1. 피보나치 수열과 토끼 문제 (왜 피보나치 수열이 성립할까?) 피보나치 수열과 토끼 문제는 피보나치가 1202년에 출간한 책 Liber Abaci 에 나오는 문제입니다. Liber Abaci (리베르 아바치)는 라틴어구요. 영어로는 The book of calculation 입니다. 우리말로는 "계산의 책"입니다. 피보나치는 1170년생이고, 피사공화국 사람입니다. 피보나치 수열과 토끼 문제는 '피보나치의 토끼' 라고 불립니다. 문제는 아래와 같습니다. 이해가 쉽도록 각색하였습니다. 1. 1월1일에 토끼 한쌍이 태어남. 2. 태어난 토끼 한쌍은 두달 뒤부터 매달 한쌍의 토끼를 낳음. 4. 새로 태어난 토끼쌍들도 2번의 규칙을 따름 3. 토끼는 죽지않음. 1년 뒤 몇쌍의 토끼가 있을까요? 첫 토끼쌍을 $R_{1}$ 이라고 놓겠습니다. 두달이 지나야 새끼를 낳으므로, .. 2021. 7. 13. 나르시시스트수 39자리 검증하기 39자리 나르시시스트 수는 아래와 같습니다. 115132219018763992565095597973971522401 먼저 엑셀로 해보려고 했습니만 실패했습니다. 엑셀에서는 최대 15개의 유효숫자만 입력되기 때문입니다. 이렇게 입력을 해도, 최대 유효숫자를 제외한 나머지는 0으로 인식합니다. 이번에는 R을 이용해봤습니다. R도 17개까지밖에 유효숫자 입력이 안되는데, 큰 정수를 다루는 패키지가 있었습니다. gmp라는 패키지를 이용하였습니다. > nar39=as.bigz("115132219018763992565095597973971522401") > nar39 Big Integer ('bigz') : [1] 115132219018763992565095597973971522401 입력이 잘 됩니다. 각각의 숫.. 2021. 7. 12. 나르시시스트 수 (자아도취된 수) 나르시시즘이라는 단어가 있습니다. 이 단어는 그리스 신화에 나오는 나르키소스의 이름을 딴 말입니다. 나르키소스는 물에 비친 자신의 모습에 반해서 물에 빠져 죽은 인물입니다. 나르시시즘은 온 관심이 자신에게 쏠려있는 자아도취된 행동을 뜻합니다. 나르시시즘에 빠져 있는 사람을 나르시시스트라고 부릅니다. 수학자들은 특정한 숫자들에도 나르시시스트라는 이름을 붙였습니다. 어떤 수의 각 자리 수를 이 수의 전체 자리수 만큼 제곱해서 합한 값이 자기자신이 되는 수 입니다. 예를들면 153이 있습니다. 153은 아래와 같은 특징을 갖습니다. $153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$ 네자리 나르시시스트 수를 예로 들면 아래와 같습니다. $1634=1^{4}+6^{4}+3^{4}+4^{4}$ 이런 수를 나르시시스트 수라.. 2021. 7. 9. 수학적인 점과 선 시각화 방법 수학에서 정의된 선은 두께가 없고 길이만 있는 도형입니다. 우리가 연필이나 펜으로 긋는 선들은 두께가 있기 때문에 수학적인 선이 아닙니다. 수학적인 선을 시각화해보겠습니다. 두 도형의 경계를 보시면 선이 하나 있습니다. 선이 분명히 보이시죠? 두께는 없지만 길이는 있습니다. 수학에서 정의된 점은 면적이 없고 위치만 있는 도형입니다. 우리가 연필이나 펜으로 찍는 점은 넓이가 있기 때문에 수학적인 선은 아닙니다. 수학적인 점을 시각화해보겠습니다. 가운데를 보시면 점이 하나 있습니다. 면적은 없고 위치만 있는 수학적인 점입니다. 2021. 6. 27. 이전 1 2 3 4 5 다음 반응형
